Les TEG sont inexactement affichés

[Aristide]

Bonjour,

Merci d'avoir bien voulu prendre sur votre temps pour me répondre

Aristide a écrit :

Vous confirmez donc que dans le cas d'école d'un crédit amortissable en 70 semestrialités de même montant plus une mensualité également de même montant que vous avez proposé l'équation :
=> 300000*€ = 10544,25€*[((1-(1+is)^-70)/is) + ((1+is)^-(70+1/6))]
permet bien de trouver le bon taux nominal proportionnel "Tn = is x 2".[/I]

Ma réponse :

Non, cette équation a pour inconnue is qui est le taux actuariel de période semestrielle.
Sa résolution donne donc le taux semestriel ACTUARIEL is et rien d’autre.
La période étant d’un mois, le taux nominal proportionnel annuel t est relié au taux actuariel semestriel is par la relation :
t = 12*[(1+is)^(1/6) – 1] = 6,155812 % à la 5è décimale la plus proche

Aristide :
Dans un crédit "normal" = périodicité régulière, le montant des intérêts compris dans une échéance est bien égal au capital restant dû ex ante multiplié par ce taux nominal proportionnel et rapporté à la période.

Ma réponse :
Oui, mais même si cette règle trouve très fréquemment à s’appliquer dans la pratique, il s’agit en réalité, au sens mathématique du terme, d’un cas particulier. Dans le cas général, la cohérence mathématique commande que l’intérêt de chaque ligne du TA soit calculé à partir d’un vrai paramètre d’actualisation. Par exemple, en fonction du taux actuariel (ou équivalent) annuel tau, la formule générale est
I = CRD * [(1+tau)^(t/1an) –1]
t étant la durée de la période sur laquelle est calculé l’intérêt I
(CF démonstration dans mon précédent post)

Aristide :
Par exemple, et pour être concret, si j'ai un crédit de 100.000€ amortissable en 240 mois au taux de 4% proportionnel, la mensualité sera de 605,98€ (avec arrondi monétaire)

Dans la première échéance, le montant des intérêts sera bien de 100.000 x 4% / 12 = 333,33€ (toujours avec arrondi monétaire) [1]

Dès lors l'amortissement compris dans cette première échéance sera de 605,98 - 333,33 = 272,65€

Et le capital restant dû (CRD) après cette première échéance deviendra 100.000 - 272, 65 = 99.727,35€

Pour le calcul des intérêts compris dans la seconde échéance on continue le même calcul qu'en [1] à partir de ce CRD.

Et ainsi de suite jusqu'à la 240 ème échéance où un ajustement sera sans doute nécessaire pour arriver à un solde parfaitement égal à zéro du fait des arrondis monétaires pratiqués.

Ma réponse :

Oui, c’est exact, mais toujours en raison du fait que votre exemple est, pour un mathématicien, un cas particulier (Cf supra pour la formule générale.)

Aristide*:

Supposons toujours un cas d'école qui serait le suivant:
+ Montant = 100.000€
+ Taux nominal proportionnel négocié entre le prêteur est son client et figurant au contrat de crédit = 4%
+ Durée 20 ans et un mois
+ Périodicité = 40 semestrialités égale de x,xx€ plus une mensualité également de x,xx€.

Dans un tel cas d'école comment calculeriez vous l'échéance de x,xx€ et comment bâtiriez vous le tableau d'amortissement ?

Ma réponse*:

L’échéance :
Il existe de nombreuses façons de la calculer.
Je vais prendre la plus classique, qui consiste à se servir du taux actuariel de période, qui est mensuelle en l’occurence. (Cf Art R313-1 du code de la consommation)
Le taux nominal de 4% figurant au contrat étant un taux proportionnel, le taux de période mensuelle i lui est relié par une relation de proportionnalité et on a donc ;
i = 4%/12 = 0,33333….%,
Ce taux de période i génère une loi d’actualisation de la forme ;
Kt = Ko (1+i)^(t-to)/p
Avec p = 1 mois.

Le montant de l’échéance constante “a” sera aisément tiré de l’équation d’équivalence suivante :
300000€ = a.[(1+i)^-6 + (1+i)^-12 + (1+i)^-18 + … +(1+i)^-240 + (1+i)^-241]
avec i = 4%/12,
équation qui peut être simplifiée algébriquement sous la forme suivante :
300000€ = a.[(1-(1+i)^-240) / ((1+i)^6 –1) + (1+i)^-241 ]
d’où l’on tire :
à = 300000€ / [……] = 3607,01 € arrondie au centime le plus proche.
(ma calculette me donne a=3607,013275775)

Le tableau d’amortissement :

L’intérêt des périodes semestrielle résulte de la formule :
I = CRD [(1+i)^6 – 1]
Celui de la dernière période mensuelle de la formule :
I = CRD [(1+i)^1 – 1] = CRD * i
Cf fichier Excel ci joint, qui confirme l’exactitude l’échéance calculée ci-dessus.
A noter que la dernière échéance a été ajustée en raison des arrondis, qui ont été faits au centime proche, sur l’échéance et les intérêts de chaque ligne.

Aristide :
Toujours de manière empirique (= recherche itérative) j'ai trouvé le montant de cette échéance (= 3.596,23€) et ai bâti le tableau d'amortissement avec ce seul taux nominal proportionnel de 4% suivant le procédé ci-dessus décrit.

Ma réponse*:
Ce procédé est inadéquat, et il génère une erreur sur le montant de l’échéance qui est loin d’être négligeable (plus de 10 Euros)

Oui, pris bonne note.

Cependant votre réponse ne correspond pas au problème posé.

Le postulat était bien que le taux contractuel était un taux nominal proportionnel de 4% comme c'est le cas dans la quasi totalité des contrats bancaires.

Dans le cas d'école proposé d'un crédit de 100.000€ au taux nominal proportionnel de 4% remboursable en 70 semestrialités de x,xx€ plus une mensualité également de x,xx€, avec cette hypothèse, dans la première semestrialité le montant des intérêts inclus seraient de
=> 100.000 :x 4% / 2 = 2.000€

Or dans le tableau d'amortissement que vous joignez ces intérêts sont de 2.016,74€ ce qui signifie que le taux appliqué n'est pas le taux nominal proportionnel stipulé au contrat.

Bien cordialement,

 

[Reginald]

Bonjour,

Oui, pris bonne note.

Cependant votre réponse ne correspond pas au problème posé.

Le postulat était bien que le taux contractuel était un taux nominal proportionnel de 4% comme c'est le cas dans la quasi totalité des contrats bancaires.

Oui, nous sommes bien d’accord, mais lorsque, dans une opération à long terme régie par les règles des intérêts composés, on dit que le taux nominal annuel TNA est un taux proportionnel, cela ne signifie pas que l’intérêt afférent aux différentes périodes successives (pouvant être de durées différentes dans le cas général) est un intérêt simple calculé proportionnellement au temps, mais seulement que le taux nominal annuel TNA auquel on se réfère est relié au taux actuariel de période i afférent à la période conventionnelle p par une relation de proportionnalité de la forme :
I/p = TNA/1AN => I = TNA * p/1an
La nuance est de taille.

Dans le cas d'école proposé d'un crédit de 100.000€ au taux nominal proportionnel de 4% remboursable en 70 semestrialités de x,xx€ plus une mensualité également de x,xx€, avec cette hypothèse, dans la première semestrialité le montant des intérêts inclus seraient de
=> 100.000 :x 4% / 2 = 2.000€

En procédant ainsi, vous calculez l’intérêt proportionnellement au temps.
Un tel calcul est conforme aux usages pour les opérations financières à court terme, régies par la règle des intérêts simples.
Dans le cadre des opérations à moyen et long perme, les calculs se font à intérêts composés, ce qui implique l’existence d’une loi de progression exponentielle des encours et des flux.
C’est la fameuse loi d’actualisation, de la forme :
Kt = Ko*(1+i)^(t/p) (1),
Kt étant la valeur acquise au bout du temps t par l’encours ou le capital qui avait pour valeur actuelle Ko au temps initial et i étant le taux de période afférent à la période p.
Ce type de calcul engendre l’un des principes fondateurs qui gouvernent les opérations à long terme qui est le principe intangible de l’équivalence des flux réciproques (c’est à dire l’égalité de leurs valeurs actualisées à une même date), et ceci quelle que soit la date de référence.
J’ai déjà beaucoup parlé de cette loi d’actualisation dans mes précédents posts, je n’y reviens pas.
Je rappelle seulement que dans ce cadre, l’intérêt est toujours calculé par exponentiation, selon la relation :
I = CRD*((1+i)^(t/p) –1) (2)
Et jamais par une relation proportionnelle

Or dans le tableau d'amortissement que vous joignez ces intérêts sont de 2.016,74€ ce qui signifie que le taux appliqué n'est pas le taux nominal proportionnel stipulé au contrat.

Si, car en vertu de ces règles, on ne peut faire de calcul d’intérêt simple proportionnel au temps. Sur cette première période semestrielle, il y a composition de l’intérêt à partir du taux actuariel de période mensuelle fixé au 1/12ème du taux nominal contractuel, la période conventionnelle étant mensuelle.

L’établissement d’un tableau d’amortissement avec intérêt calculé proportionnellement à la durée de chaque période ne serait pas conforme aux règles qui régissent les opérations financières à long terme.
Une telle démarche de calcul générerait de nombreuses anomalies et défauts de cohérence dans la modélisation mathématique de l’opération.
En outre, selon l’expérience que je peux en avoir, elle ne correspond pas aux usages les plus largement répandus parmi les banques et établissements de crédit.

Sur le plan des anomalies et des contradictions générées par un tel calcul d’intérêts simples sur des périodes successives inégales, je n’en citerai que deux qui me paraissent significatives :

Première anomalie :
Le taux n’est plus uniforme sur la durée de l‘opération, alors que vous vous situez dans l’hypothèse d’une opération à taux fixe.
En effet, votre tableau décrit une chronique d’amortissement à deux taux successifs distincts et très sensiblement inégaux :
Le taux actuariel annuel TAU1 = (1+4%/2)² - 1 = 4,040000000 %
appliqué sur les 40 périodes semestrielles, puis
Le taux actuariel annuel TAU2 = (1+4%/12)^12 - 1 = 4,0741543 %
appliqué à la période mensuelle restante.
Si vous en doutez, vous pourrez vérifier numériquement ce constat en effectuant un bilan actuariel de l’opération à la date de la 40ème échéance semestrielle.
Vous constaterez que le CRD à cette date mentionné dans votre tableau coïncide, aux arrondis près, à la différence des valeurs actualisées des flux réciproque échus à cette date, au taux actuariel de 4,04 %.
Ce même CRD est égal aussi à la valeur actualisée à la même date de la dernière échéance non échue, mais cette fois-ci, au taux actuariel de 4,0741543 %.
Il y a donc bien deux taux successifs distincts, et le principe de l’équivalence des flux réciproques ne peut se trouver vérifié que dans le cadre d’une loi d’actualisation à taux variable, comme c’est le cas dans les opérations du même nom.

Seconde anomalie :
En l’absence de frais accessoires, le TEG de ce crédit, calculé conformément à la réglementation c’est à dire par une méthode proportionnelle et pour une période de référence d’un mois, serait de :
3,967060 %, donc sensiblement inférieur au taux nominal de 4%, également proportionnel annuel, ce qui me paraît pour le moins insolite.

En ce qui concerne la pratique bancaire, je n’ai personnellement pas eu l’occasion d’observer de cas dans lesquels un établissement aurait bâti une chronique d’amortissement de la manière que vous indiquez.
Ainsi, par exemple, dans le cas de crédits amortis par mensualités et comportant une phase de différé complet (aucun versement d’intérêt ni de capital) de plusieurs périodes mensuelles, il y a toujours composition de l’intérêt pour le calcul des agios générés par la phase de différé.
Du reste, un calcul à intérêts simples serait préjudiciable à l’établissement de crédit, qui ne retrouverait pas son taux nominal contractuel sur la globalité de l’opération.

Bien cordialement à tous, et restant à l’écoute de vos observations pour alimenter le débat

Réginald

 

[Aristide]

Bonjour,

Merci de votre réponse

En ce qui concerne la pratique bancaire, je n’ai personnellement pas eu l’occasion d’observer de cas dans lesquels un établissement aurait bâti une chronique d’amortissement de la manière que vous indiquez.

Sur le cas d'école de 71 échéances dont 70 semestrialités plus une mensualité toutes de même montant je ne me prononcerai pas car, étant un cas d'école, je ne l'ai pas eu.

Par contre, dans tous les tableaux d'amortissement "classiques" ( = Echéances régulières que ce soit mensuelles, trimestrielles, semestrielles ou bien annuelles) - et j'en ai eu des milliers entre les mains - venant de tous Etablissements - je peux vous affirmer qu'ils étaient tous bâtis ainsi que je l'ai expliqué.

Dans les prêts immobiliers, quelques catégories bien spécifiques ont leur taux nominal exprimé en taux actuariels contrairement à la pratique "normale"; c'est notamment le cas des prêts épargne-logement.

Eh bien même dans un tel cas la pratique est la suivante
1) - Conversion du taux actuariel en taux proportionnel
2) - Calcul de l'échéance à partir de ce taux proportionnel
3) - Etablissement du tabbleau d'amortissement

Supposons l'exemple suivant:
+ Prêt de 10.000€
+ Taux 3,50% actuariel
+ Durée 84 mois

1) - Transformation du taux actuariel en taux proportionnel
1.1) - Recheche du taux mensuel :
=> (1 + Ia) = (1 + Im)^12
=> Im = [[(1 + Ia)^(1/12)] - 1]

=> Im = [(1,035^(1/12)) - 1] = 0,00287089871908 = 0,287089871908%

1.2) - Taux proportionnel
Tp = Im x 12
Tp = 0,287089871908% x 12 =3,4450784629%

2) - Calcul échéance
E = C x Im / [1 - ((1+ Im)^(-84))]

E = 10.000 x 0,287089871908% / [1 - (1,287089871908%^(-84)]
E = 134,15 (avec arrondi monétaire)

3) - Etablissement du tableau d'amortissement
3.1) - Calcul des intérêts compris dans la première échéance
I1 = 10.000 x 3,4450784629% / 12 (ou 10.000 x 0,287089871908%)
I1 = 28,71 (avec arrondi monétaire)

3.2) - Calcul amortissement
A1 = E - I1
A1 = 134,15 - 28,71 = 105,44

Nouveau capital restant dû:
CRD1 = 10.000 - 105,44 = 9.894,56

...et ainsi de suite pour les autres échéances.

Eventuellement, notamment à cause des arrondis monétaires, il y a un ajustement sur la dernière échéance afin de solder exactement le capital dû.

Cette manière de pratique est la même pour tous les crédits amortissables qui vont désormais jusqu'à 30 ans.

Je suis persuadé que de nombreux autres intervenants pourront confimer mes dires.

Ainsi, par exemple, dans le cas de crédits amortis par mensualités et comportant une phase de différé complet (aucun versement d’intérêt ni de capital) de plusieurs périodes mensuelles, il y a toujours composition de l’intérêt pour le calcul des agios générés par la phase de différé.
Du reste, un calcul à intérêts simples serait préjudiciable à l’établissement de crédit, qui ne retrouverait pas son taux nominal contractuel sur la globalité de l’opération.

Cette pratique existe de moins en moins car elle est contraire à l'article 1154 du code civile qui traite de l'anatocisme.

Dans le cas que vous citez, de plus en plus, afin d'être en parfaite conformité avec le code civil et moins pénaliser les emprunteurs, il y a un stockage des intérêts - calculés en intérêts simples - lesdits intérêts étant "déstockés" ( = payés en priorité) à l'issue de la phase de différé et donc à partir de la première échéance d'amortissement.
Cette dernière est calculée comme indiqué ci-dessus avec une durée réduite de la période différée.
Le tableau d'amortissement est aussi établi ainsi que décrit ci-dessus si bien qu'il peut se faire que l'amortissement soit nul ou faible dans les premières échéances de cette phase dite d'amortissement.

Cordialement,

 

[Aristide]

Afficher la pièce jointe 548

Bonjour,

J'ai repris votre tableau d'amortissement (Cf fichier atatché ci-dessus) relatif au cas d'école d'un crédit de 100.000€ au taux nominal proportionnel de 4%, et, selon votre calcul, amortissable en 40 semestrialités de 3.607,01€ plus une mensualité de 3.607,19€

En appliquant l'équation :
100.000 = 3.607,01 (1+is)^(-1) + 3.607,01 (1+is)^(-2) + ....+ 3.607,01 (1+is)^(-39) + 3.607,01 (1+is)^(-40) + 3.607,01 (1+is)^-[(40 + (1/6))]
que vous avez validée, j'ai cherché le taux périodique qui permet de la résoudre.

Ainsi que vous le verrez dans le fichier Excel joint, je trouve 2,01674036096182000000%.

Donc le taux nominal proportionnel annuel qui en résulte et - à fortiori - le taux actuariel,
seront, tous les deux, forcément supérieurs au taux de 4% qui était le postulat de base.

Je suis désolé mais je ne vous suis pas dans l'élaboration dudit tableau d'amortissement.

Cordialement,

 

[Reginald]

Bonjour Aristide,

Bravo et merci pour votre réactivité et votre assiduité à débattre sur ces questions qui m'inréressent aussi au plus haut point.

Je vais vous répondre complètement, mais je n'en ai pas le temps dans l'instant.

à très bientôt donc...

Bien cordialement à tous


Reginald

 

[Reginald]

Bonjour à tous,
Je dois à nouveau une réponse à Aristide qui s’est beaucoup investi dans les problèmes d’amortissement des crédits à taux fixes remboursés par une série d’échéances irrégulièrement échelonnées.

Citation :
“Merci de votre réponse

Sur le cas d'école de 71 échéances dont 70 semestrialités plus une mensualité toutes de même montant je ne me prononcerai pas car, étant un cas d'école, je ne l'ai pas eu.

Par contre, dans tous les tableaux d'amortissement "classiques" ( = Echéances régulières que ce soit mensuelles, trimestrielles, semestrielles ou bien annuelles) - et j'en ai eu des milliers entre les mains - venant de tous Etablissements - je peux vous affirmer qu'ils étaient tous bâtis ainsi que je l'ai expliqué.

Dans les prêts immobiliers, quelques catégories bien spécifiques ont leur taux nominal exprimé en taux actuariels contrairement à la pratique "normale"; c'est notamment le cas des prêts épargne-logement.

Eh bien même dans un tel cas la pratique est la suivante
1) - Conversion du taux actuariel en taux proportionnel
2) - Calcul de l'échéance à partir de ce taux proportionnel
3) - Etablissement du tabbleau d'amortissement

Supposons l'exemple suivant:
+ Prêt de 10.000€
+ Taux 3,50% actuariel
+ Durée 84 mois

1) - Transformation du taux actuariel en taux proportionnel
1.1) - Recheche du taux mensuel :
=> (1 + Ia) = (1 + Im)^12
=> Im = [[(1 + Ia)^(1/12)] - 1]

=> Im = [(1,035^(1/12)) - 1] = 0,00287089871908 = 0,287089871908%”
Ma réponse :
Attention, il s’agit d’un taux actuariel de période mensuelle et non d’un taux proportionnel, taux actuariel mensuel sur lequel on peut fonder l’une des formes de la loi d’actualisation caractéristique de l’opération à taux fixe considérée, qui est la suivante :
Kt = Ko.(1+Im)^(t-to)/(1mois)
Kt étant la valeur acquise à la date t par l’encours qui avait Ko pour valeur actuelle à la date to, Im étant le taux actuariel de période associé à une période mensuelle (ou d’1/12ème d’année),
Citation :
“
1.2) - Taux proportionnel
Tp = Im x 12
Tp = 0,287089871908% x 12 =3,4450784629%

Ma réponse :
Oui, mais Ce calcul du taux proportionnel annuel Tp est complètement inutile ; il n’apporte rien et n’intervient aucunement dans la démarche de calcul de l’échéance ni du tableau d’amortissement.

En l’espèce, le taux annuel étant actuariel, il constitue un vrai paramètre d’actualisation à partir duquel tous les calculs intéressant l’opération pourront avantageusement être effectués.
Dans ce dernier exemple que vous apportez, le plus simple, le plus direct et le plus précis (voir plus loin) consiste à utiliser une équation d’équivalence écrite directement en fonction du taux actuariel annuel Ia, qui est le seul taux à rendre en considération en l’espèce.

Citation ;
2) - Calcul échéance
E = C x Im / [1 - ((1+ Im)^(-84))]

E = 10.000 x 0,287089871908% / [1 - (1,287089871908%^(-84)]
E = 134,15 (avec arrondi monétaire)

Ma réponse :
Cette façon de calculer est bien peu rationnelle et comprend des détours et des calculs numériques faits pour être défaits ensuite avec, à cette occasion, perte de précision numérique.
On a grandement avantage à tirer directement le montant de l’échéance constante de l’équation d’équivalence suivante, écrite directement en fonction du paramètre dont on dispose par hypothèse, à savoir le taux actuariel annuel Ia = 3,50 %.
Une telle équation s’écrit :
C = E.[(1-(1+Ia)^(-84/12)) / ((1+Ia)^(1/12)-1)]
D’où l’on tire l’échéance E selon ;
E = C.[((1+Ia)^(1/12)-1) / (1-(1+Ia)^(-84/12))]
Soit, numériquement :
E = C.[(1,035^(1/12)-1) / (1-(1,035^-7)] = 134,148479389 € qui sera arrondie au centime le plus proche soit 134,15 €
Même résultat mais avec une démarche plus directe évitant tout transfert de résultat intermédiaire.

Citation :
3) - Etablissement du tableau d'amortissement
3.1) - Calcul des intérêts compris dans la première échéance
I1 = 10.000 x 3,4450784629% / 12 (ou 10.000 x 0,287089871908%)
I1 = 28,71 (avec arrondi monétaire)

Ma réponse :
Oui, naturellement, le résultat est exact, mais pour la démarche, je dirais plutôt :
I1 = 10000.[(1+Ia)^(1/12)-1]
(pour reprendre votre symbolisme)
Il s’agit bien d’un calcul exponentiel, à intérêts composés, qui, au cas particulier, se résume à :
I1 = 10000.[(1+Ia)^(1/12)-1] = 10000.[(1+Im)^(1/1)-1] = 10000.1+Im-1 = 10000.Im
La simplification du calcul d’intérêt sur cette première période en :
I1= 10000.Im
provient uniquement de la coïncidence (fortuite mathématiquement) entre la durée de votre première période et la durée de la période auquel est associé le taux actuariel de période Im.
Lorsque cette coïncidence n’existe plus, ce qui correspond au cas général lorsque les échances ne sont pas régulièrement échelonnées dans le temps, cette simplifiction devient abusive et il faut reprendre la formule générale avec exponentiation tirée de la loi d’actualisation. Le plus sûr est de ne jamais la perdre de vue cette loi d’actualisation qui est le seul terme de comparaison valide entre des sommes disponibles à des dates différentes. Tout calcul proportionnel au temps est à proscrire absolument en matière d’opérations à long terme régies par la règle des intérêts composés. (excusez moi de me répéter)

 

[Reginald]

Suite…
Citation :
3.2) - Calcul amortissement
A1 = E - I1
A1 = 134,15 - 28,71 = 105,44

Nouveau capital restant dû:
CRD1 = 10.000 - 105,44 = 9.894,56

...et ainsi de suite pour les autres échéances.

Eventuellement, notamment à cause des arrondis monétaires, il y a un ajustement sur la dernière échéance afin de solder exactement le capital dû.

Cette manière de pratique est la même pour tous les crédits amortissables qui vont désormais jusqu'à 30 ans.

Je suis persuadé que de nombreux autres intervenants pourront confimer mes dires.

Ma réponse :
Je n’ai jamais dit le contraire ; nous sommes en accord sur les conséquences numériques concrètes.
C’est sur l’approche de la problématique que nos points de vue divergent.
L’approche que vous soutenez me paraît procéder d’une analyse réductrice de la problématique, qui prend un cas particulier pour une généralité.
Certes, cette approche ne se trouve pas démentie par les chiffres dans la majorité des cas pratiques, mais, encore une fois, c’est uniquement à cause du fait que ceux-ci portent sur une structure de flux remboursant bien particulière qui est celle d’échéances régulièrement échelonnées.

Dès que l’on sort de cette structure des flux schématique et stéréotypée qui constitue un cas particulier sur le plan mathématique, une telle approche se révèle impropre à générer une conception actuarielle satisfaisant le principe intangible de l’équivalence des flux réciproques à toute date, principe qui doit se trouver corroboré aussi par un tableau d’amortissement bien construit.

En d’autres termes, il ne faut jamais se départir d’une approche générale et analytique de la problématique des opérations financières à long terme que sont les emprunts indivis remboursés sur de longues périodes, à intrérêts composés.

Du reste, vous ne m’avez pas répondu sur les défauts de cohérence de tableau d’amortissement joint à votre post du 11août à 17h32 (2 taux différents alors que l’hypothèse est celle d’une opération à taux fixe ; CRD mentionné aux lignes successives ne coïncidant pas, pour un même taux, au bilan actualisé des flux échus et à échoir ;taux nominal supérieur au TEG alors qu’il s’agit, en principe, de deux taux proportionnels annuels et qu’ils devraient être confondus en l’absence de frais accessoires.)

Citation :
Ainsi, par exemple, dans le cas de crédits amortis par mensualités et comportant une phase de différé complet (aucun versement d’intérêt ni de capital) de plusieurs périodes mensuelles, il y a toujours composition de l’intérêt pour le calcul des agios générés par la phase de différé.
Du reste, un calcul à intérêts simples serait préjudiciable à l’établissement de crédit, qui ne retrouverait pas son taux nominal contractuel sur la globalité de l’opération.

Cette pratique existe de moins en moins car elle est contraire à l'article 1154 du code civile qui traite de l'anatocisme.

 

[Reginald]

Suite…
Ma réponse :
Cette vieille histoire de l’anatocisme, qui était tombée dans l’oubli depuis des décennies et semble refaire surface, n’est fondée sur aucun principe actuariel cohérent. (ça n’est pas le seul exemple de l’absurdité d’un texte législatif ou réglementaire touchant à un domaine scientifique; l’ex-décret du 4 septembre 1985 sur le calcul du TEG par la “méthode proportionnelle”, dont j’ai souligné l’incohérence sur ce forum en est un autre exemple et non des moindres).
Du reste, il est probable que si ce vieux principe de prohibition de l’intérêt calculé sur l’intérêt connaît un regain de popularité, c’est en grande partie en raison du fait qu’on y a cherché la source d’un grief supplémentaire à faire valoir contre le CFF et d’autres dans l’affaire retentissante des prêts à taux indexé ayant trompé une myriade d’emprunteurs accédants à la propriété immobilière dans les années 2005 à 2007.
Pour ce qui touche à la théorie financière, on montrerait sans peine qu’une certaine forme d’anatocisme est strictement consubstantielle des principes les plus fondateurs qui régissent le fonctionnement des opérations financières à long terme fonctionnant à intérêts composés, et dans lesquelles les capitaux immobilisés suivent par voie de conséquence une loi de progression constituant une fonction exponentielle du temps ( la fameuse loi d’actualisation).

En effet, la poursuite du principe de capitalisation de l’intérêt dans sa logique ultime conduit fatalement à la généralisation de ce principe jusqu’à un modèle continu dans lequel il y a composition de l’intérêt sur des périodes successives infinitésimales.
La capitalisation devient alors continue et se trouve décrite par un modèle mathématique dont la problématique se résume à l’équation différentielle du premier ordre suivante :
dK/dt = Lambda .K (1)
Ce modèle est parfaitement cohérent, il exprime que la dérivée première par rapport au temps (exprimée ici en notation de Leibniz) de la valeur acquise par le capital K est à chaque instant proportionnelle à cette valeur acquises K.
Plus simplement : la vitesse de progression du capital est à tout instant proportionnelle à sa valeur au même instant.
Le coefficient de proportionnalité Lambda est un bon indicateur de la vitesse de progression de l’encours et constitue un paramètre d’actualisation parfaitement viable permettant tous les calculs actuariels susceptibles de se présenter.
En effet, l’équation différentielle (1) conduit tout de suite, après intégration, à la loi d’actualisation exponentielle suivante :
Kt = Ko.e^[Lambda.(t-to)] (2),
Kt étant (comme précédemment) la valeur acquise à la date t par l’encours qui avait Ko pour valeur actuelle à la date to ; et “e” étant la base des logarithmes népériens.

Cette loi d’actualisation, écrite en fonction du taux continu Lambda, est parfaitement identifiable à celle, écrite en fonction d’un taux actuariel Ip associé à une période de durée quelconque p, soit :
Kt = Ko.(1+Ip)^[(t-to)/p] (3)
Dans la mesure où lambda, taux continu, et Ip, taux actuariel associé à la période p, sont reliés entre eux par la relation ;
(1+Ip) = e^(lambda.p)
Cette dernière expression, qui définit la condition d’équivalence entre le taux continu lambda et le taux actuariel Ip associé à la période p ; implique, elle même, la double relation :
Ip = e^(lambda*p) – 1 ç> Lambda = [ln(1+Ip)] / p

Dans la mesure où cette relation est satisfaite, les paramètres lambda et Ip sont équivalents entre eux, et tous les calculs actuariels intéressant une opération de crédit peuvent indifféremment être effectués en exploitant l’une ou l’autre de ces deux lois d’actualisation à taux continus de la forme (2) ou à taux actuariel, de la forme (3)..

Il me paraît évident que le législateur ayant rédigé l’article du code civil qui prohibe l’anatocisme n’ avait pas intégré ces quelques principes essentiels de théorie financière.

Citation :
Dans le cas que vous citez, de plus en plus, afin d'être en parfaite conformité avec le code civil et moins pénaliser les emprunteurs, il y a un stockage des intérêts - calculés en intérêts simples - lesdits intérêts étant "déstockés" ( = payés en priorité) à l'issue de la phase de différé et donc à partir de la première échéance d'amortissement.
Cette dernière est calculée comme indiqué ci-dessus avec une durée réduite de la période différée.
Le tableau d'amortissement est aussi établi ainsi que décrit ci-dessus si bien qu'il peut se faire que l'amortissement soit nul ou faible dans les premières échéances de cette phase dite d'amortissement.

Ma réponse :
Une telle façon de procéder est absolument irrationnelle : en n’actualisant pas les intérêts échus dont le paiement est différé, on pratique une entorse au principe d’équivalence des flux réciproques.
Il s’agit là d’une concession à une disposition législative stupide qui aurait du rester dans l’oubli.
Comme déjà dit, la conséquence pratique en est que le prêteur, en procédant ainsi, ne retrouve pas le taux d’intérêt nominal contractuel sur la globalité de l’opération.
Dans la mesure où on fait “reprendre du service” à ce vieil article 1154 du c.c., il n’y a donc rien d’étonnant à ce que les établissements financiers, qui voient bien où est leur intérêt, tendent à se détournent du crédit avec différé total.

A noter qu’il est encore bien vivace en matière de crédit immobilier (de plus de 21500 €) ayant pour objet de financer l’installation de panneaux photovoltaïques en toiture. En pareille matière, on voit couramment des différés totaux de 5 à 8 périodes mensuelles.
La cause en est probablement qu’en raison de l’environnement réglementaire qui entoure une telle installation pour un particulier, (aides de l’État ; tarif de revente à EDF de l’énergie électrique produite…) celui-ci ne profite du retour sur son investissement qu’après un certain nombre de mois.

 

[Reginald]

Suite…
Je reprends le dernier message d’ Aristide ;
Citation :
Bonjour,
J'ai repris votre tableau d'amortissement (Cf fichier atatché ci-dessus) relatif au cas d'école d'un crédit de 100.000€ au taux nominal proportionnel de 4%, et, selon votre calcul, amortissable en 40 semestrialités de 3.607,01€ plus une mensualité de 3.607,19€

En appliquant l'équation :
100.000 = 3.607,01 (1+is)^(-1) + 3.607,01 (1+is)^(-2) + ....+ 3.607,01 (1+is)^(-39) + 3.607,01 (1+is)^(-40) + 3.607,01 (1+is)^-[(40 + (1/6))]
que vous avez validée, j'ai cherché le taux périodique qui permet de la résoudre.

Ma réponse :
En effet, je confirme la validité de cette équation d’équivalence des flux réciproques, équivalence exprimée, en l’espèce à la date de versement du prêt.
Le paramètre d’actualisation Is est, dans cette équation, un taux actuariel de période semestrielle.
Citation :
Ainsi que vous le verrez dans le fichier Excel joint, je trouve 2,01674036096182000000%.

Ma réponse :
En effet, ce chiffre est exact au moins jusqu’à la 6éme décimale, (il est calculé pour une échéance arrondie au centime le plus proche et la dernière ajustée à 3607,19 €)
Citation :
Donc le taux nominal proportionnel annuel qui en résulte et - à fortiori - le taux actuariel,
seront, tous les deux, forcément supérieurs au taux de 4% qui était le postulat de base.

Ma réponse :
Non, attention, là il faut être très attentif : votre équation vous donne un taux actuariel de période semestrielle, or, le taux annuel de 4% stipulé au contrat est, par hypothèse, relié au taux actuariel de période mensuelle par une relation de proportionnalité, ceci en raison du fait que la période est conventionnellement mensuelle du fait de l’existence de deux échéances consécutives espacées d’un mois (les 2 dernières).
Pour passer de votre Is au taux nominal proportionnel annuel, il faut donc d’abord tirer le taux actuariel mensuel Im qui lui est équivalent, puis remonter au taux annuel proportionnel t en mutipliant par 12.
On a donc : Tp = [(1+Is)^1/6 –1] * 12 = bien 4% (aux erreurs d’arrondis près)
Par contre, le taux actuariel annuel Ia est donné par :
(1+Is)² = (1+Ia) => Ia = (1+Is)² - 1 = 4,074154 % à la 6ème décimale.
Il n’y a rien là que de très normal, lorsque la période est inférieure à l’année, le taux proportionnel annuel est toujours inférieur au taux actuariel annuel.

Pour ce qui est de la façon d’établir le tableau d’amortissement en cas de différé, ce qui constitue une suite d’échéances irrégulièrement échelonnées de même que votre exemple constituant un “cas d’école”, il existe sur ce site cbanque divers outils de calcul et de simulation de crédits qui, d’une façon générale, sont fort bien faits.

Parmi ces outils, vous trouverez à l’adresse suivante :

https://www.moneyvox.fr/calculatrice/credit/emprunt.php?typcredit=DIFFTOT&typtaux=P

un outil de simulation de crédits avec différé total, le taux nominal annuel étant exprimé en proportionnel.
(voir aussi les explicatiins qui vont avec à l’adresse :
https://www.moneyvox.fr/credit/differe.php

Si vous faites des essais avec des différés de plusieurs périodes, vous verrez qu’il y a bien composition de l’intérêt durant la phase de différé, à partir du taux actuariel de période mensuelle, comme c’est le cas dans mon tableau, et conformément à la pratique la plus répandue des établissements de crédit depuis plusieurs décennies, même si cette pratique tend à être abandonnée.


Bien cordialement

Reginald

 

[Aristide]

Bonjour

Merci pour ces longues explications théoriques.

Cependant, au plan pratique, je vous affirme qu'une très longue expérience me permet de vous confirmer que les tableaux d'amortissement des banques sont conçus ainsi que je l'ai expliqué à savoir que les intérêts compris dans une échéance sont caclulés en appliquant au capital restant dû le taux nominal proportionnel et en rapportant à la période.

Ainsi, si le capital est de 100.000€ et que le taux d'intérêt soit de 4% avec des chéances mensuelles, le montant des intérêts qui sera compris dans l'échéance à venir sera de 100.000 x 4% / 12 = 333,33€ après arrondi monétaire.

Au plan pratique il en est bien ainsi; j'ai encore ressorti une dizaine de tableaux d'amortissement que j'avais à portée de mains pour - comme s'il en était besoin - le vérifier.

D'ailleurs, pour comparer la pratique que je connais à celle que vous appliquez, sur un cas normal (par opposition au cas d'école de 40 semestrialités plus une mensualité), j'aimerais bien que vous nous batissiez le tableau d'amortissement d'un crédit de 100.000€ au taux nominal proportionnel de 4% amortissable en 84 mensualités constantes; ce dont je vous remercie.

Sur l'article 1154 du code civil, c'est parfaitement votre droit de le contester mais, puisqu'il na pas été abrogé, il est toujours applicable.

Si je ne me trompe, Elaphus vous avait fait une réponse a peu près identique à propos de votre contestation du calcul du TEG en proportionnel ?
La loi est peut-être mal faite ? Mais c'est la loi.

Sur la pratique de contournement, là aussi c'est votre droit de la contester, mais d'une part elle est conforme au code civil et, d'autre part, c'est une pratique qui existe et même qui de développe.

Et quand vous écrivez

Dans la mesure où on fait “reprendre du service” à ce vieil article 1154 du c.c., il n’y a donc rien d’étonnant à ce que les établissements financiers,qui voient bien où est leur intérêt, tendent à se détournent du crédit avec différé total.

ou bien j'interprète mal ce que vous avez voulu dire ou bien vous vous trompez ?
En effet, ce n'est pas du tout l'intérêt des banques d'appliquer cette méthode car elle leur rapporte beaucoup moins de produits financiers que s'ils capitalisaient au mois le mois (ce qui est contraire au code civil et qu'il semble bon de rappeler à tous les emprunteurs qui nous lisent sur ce forum dans leur intérêt).

Bien cordialement,