Bonjour,
Les 15 et 18 juin 2009, en rebondissant sur la post de « Bounty » du 3 juin 2008 intitulé « Les IRA qu’est-ce que c’est ? », je vous interrogeais sur la bonne manière de calculer le taux moyen d’un prêt.
En l’occurrence, il s’agissait de savoir quel taux « moyen » appliquer dans le calcul des indemnités de remboursements anticipés des prêts à taux révisable/variable.
A notez que le problème serait strictement le même pour un crédit à taux fixes mais avec plusieurs paliers de taux
Ce que j’aurais surtout souhaité c’est un document « officiel » qui précise bien la bonne manière de calculer ce taux moyen.
N’ayant pas eu de réponse des « Abonnés » à la discussion « Les IRA qu’est-ce que c’est ? », je publie ce nouveau post afin qu’une diffusion plus large permette une plus grande probabilité de réponses.
Rappel article R.312-2 du Code de la Consommation
Article R312-2
Créé par Décret n°97-298 du 27 mars 1997 - art. 1 (V) JORF 3 avril 1997
L'indemnité éventuellement due par l'emprunteur, prévue à l'article L. 312-21 en cas de remboursement par anticipation, ne peut excéder la valeur d'un semestre d'intérêt sur le capital remboursé au taux moyen du prêt, sans pouvoir dépasser 3 % du capital restant dû avant le remboursement.
Dans le cas où un contrat de prêt est assorti de taux d'intérêts différents selon les périodes de remboursement, l'indemnité prévue à l'alinéa précédent peut être majorée de la somme permettant d'assurer au prêteur, sur la durée courue depuis l'origine, le taux moyen prévu lors de l'octroi du prêt.
Dans son post du 3 juin 2008 Bounty donnait l’exemple suivant
"Citation :
Envoyé par Bounty
Pour un taux variable TX est égale à la moyenne des taux écoulé au prorata de ceux-ci.
Exemple :
Vous avez souscrit un crédit dont la première échéance est le 01/01/2005 à un taux de 4%.En mai ce taux monte à 5% et en Août à 6%. Vous remboursez en janvier 2006. Vous aurez donc 3 mois à 4% (***), 3 mois à 5% et 6 mois à 6%.
3x4+3x5+6x6= (12+15+36)/12 = 5,25%
Le taux moyen pour la période est de 5,25%."
(***) On fera abstraction de l’erreur car si la 1ère échéance est le 01/01/2005, la mise à disposition des fonds a été le 01/12/2004 et la première période n’est pas de 3 mois mais de 4 mois.
Nous ne retiendrons donc que le principe de calcul
Ma question est la suivante :
N'y a t-il pas une autre méthode de calcul basée sur les flux, en l'occurrence, les échéances réellement payées ?
Exemple
Supposons un prêt de 1.000€ à 4% en 180 mois.
=> Echéances = 7,40€
=> CRD au bout de 3 mois = 987,77€
A partir du 4ème mois passage au taux à 5%
=> Nouvelle échéance sur 177 mois = 7,90€
=> CRD au bout de 3 + 3 = 6 mois = 976,37€
A partir du 7ème mois passage au taux de 6%
=> nouvelle échéance sur 174 mois = 8,41€
=> CRD au bout de (3 + 3 + 6) = 12 mois = 954,90€
Remboursement anticipé à la fin du 12è mois = 954,90€
Taux moyen calculé par actualisation des flux tels que figurant dans fichier Excel joint = 4,8456% ce qui est assez différent du calcul proposé par Bounty ci-dessus présenté soit 5,25%.
Dans l'exemple, cette différence aurait donc une incidence sur l'indemnité de remboursement anticipé de l'ordre de 0,40%.
Pour un remboursement anticipé partiel de 100.000€ l'indemnité de 6 mois d'intérêts serait de 100.000€ x 5,25% / 2 = 2.625€ dans le premier cas.
Elle ne serait que de 100.000€ x 4,8456% / 2 = 2.422,80€ dans le second cas soit une différence de 202.20€ soit >0,20% du capital remboursé.
J'ai fait des recherches sur internet pour tenter de trouver un éventuel texte qui donnerait "la méthode légale" de calcul de ce taux moyen mais je n'ai rien trouvé.
D'où ma demande si cela vous est possible.
Avec tous mes remerciements
Cordialement,
Bonjour à tous,
Cette discussion sur les taux moyens est bien intéressante.
Mais je crois qu’il ne faut pas confondre taux moyen et taux global.
Le taux moyen d’une opération financière présentant des taux différenciés selon les périodes est le taux constant qui assurerait, sur le même intervalle de temps, le même coefficient d’actualisation que celui résultant des taux successivement en vigueur.
Ainsi, le taux moyen d’une opération de crédit dont les taux nominaux successifs sont les suivants :
4 % pendant les 3 premiers mois ;
5 % durant les 3 mois suivants, puis :
6 % durant les 6 mois suivants
(La durée de l’opération est donc de 12 mois)
est le taux uniforme i tel qu’appliqué à cet intervalle de 12 mois, il produise le même coefficient d’actualisation que les 3 taux successifs appliqués à leurs durées respectives.
Dans l’exemple ci-dessus, le CA est (si l’on admet que les taux de référence sont des taux proportionnels annuels) le suivant :
CA = (1+4%/12)^3 * (1+5%/12)^3 * (1+6%/12)^6 = 1,053779
D’où un taux de période moyen i tel que :
(1+i)^12 = (1+4%/12)^3 * (1+5%/12)^3 * (1+6%/12)^6 = 1,053779
soit i = 1,053779^(1/12)-1 = 4,3747622.10-3 soit un taux moyen proportionnel annuel de :
4,3747622.10-3 * 12 = 5,2497147 %
Il s’agit donc plutôt d’une moyenne harmonique des coefficients d’actualisation des périodes successives (1+i1) ; (1+i2) …etc que d’une moyenne pondérée des taux successifs laquelle n’a guère de signification actuarielle.
A noter que cette définition est généralisable à tes taux variant d’une manière continue. Il faut alors intégrer sur l’intervalle considéré. Je ne développe pas pour ne pas alourdir ma contribution, et également parce que le développement correspondant nécessiterait un éditeur d’équations.
A noter que le taux moyen ne dépend que des taux successifs et de leurs durées respectives et aucunement des flux échangés entre les parties au contrat.
Le taux global (qui est le paramètre retenu par la législation et la réglementation pour représenter le taux significatif d’une opération de crédit) est, quant à lui, tout autre chose, et, dans les opérations à taux variable, il n’est pas confondu (la différence est parfois considérable) avec le taux moyen.
Notons tout de suite que le taux global est qualifié d’ “effectif” lorsque son calcul intègre aussi les différentes charges obligatoires autres que les intérêts que devra supporter l’emprunteur. (frais de dossier, cotisations d’assurances obligatoires…) C’est alors le fameux Taux Effectif Global TEG.
Reste à définir le concept mathématique qui se cache derrière ce taux global.
C’est en réalité le taux uniforme qui assure l’équivalence des flux réciproques, c’est à dire l’égalité de leurs valeurs actualisées à une même date.
L’expression mathématique qui traduit cette équivalence est appelée, en toute logique l’Equation d’Equivalence.
Elle consiste à pondérer chacun des cash-flows par un coefficient d’actualisation donnant sa valeur actualisée à la date de référence. On place dans l’un des membres de l’équation les versements de l’emprunteur, dans l’autre, ceux de l’emprunteur pour amortir l’emprunt.
On démontre facilement que si l’équivalence des flux réciproques est vérifiée à une date de référence quelconque, elle l’est aussi à toutes les autres dates.
La date de référence est donc indifférente. Elle peut être choisie au gré de l’opérateur, en fonction de ses commodités de calcul. Par exemple si le prêt fait l’objet d’un versement unique, il sera commode de choisir la date de versement du prêt comme date de référence.
Le taux global sera alors le taux d’actualisation des remboursements tel que cette valeur actuelle totale soit égale au montant du prêt.
Le coefficient d’actualisation affecté à chaque cahs-flow intervenu à la date ti est de la forme :
(1+i)^(tr-tj)
tr étant la date de référence.
tj la date à laquelle est intervenu le cash-flow de rang j
i est le taux actuariel de période constituant le taux global à trouver. C’est l’inconnue de l’équation d’équivalence.
Sous sa forme générale, l‘équation d’équivalence se traduit par l’égalité de deux sommes d’un nombre fini d’éléments, somme des versements du prêteur actualisés devant être égale à la somme des remboursements de l’emprunteur actualisés à la même date. Une reproduction explicite de cette formule de calcul se trouve annexée à l’article R 313-1 du code de la consommation.
Ce taux global correspond à ce qu’Aristide appelle “taux moyen calculé par actualisation”
Contrairement au taux moyen qui ne dépend que des taux successifs, le taux global ne dépend que du calendrier des flux financiers échangés entre les parties.
A noter une erreur dans le calcul du taux global d‘Aristide dans sa contribution de mars 2009 “Un taux moyen peut en cacher un autre (Calcul des IRA)”.
En effet, la somme de 957,90 € est le CRD derrière la 12ème échéance, c’est à dire immédiatement après son paiement. C’est donc le montant à acquitter en même temps que cette 12ème échéance de 8,41€ pour solder le prêt. Il faut donc prévoir un 12ème échéance de 8,41 + 954,90 = 963,31 €.
Le taux global en résultant est alors de 5,2284 % (proportionnel annuel)
Le taux moyen, peu différent, est de 5,2497 %
Dans l’article R 312-2 du code de la consommation, je crois que le législateur a confondu la notion de taux moyen et celle de taux global.
Pour donner un sens au texte, il faut remplacer “taux moyen” par “taux global”, et l’interprétation de la réglementation devient alors conforme à son esprit : la rémunération effective des capitaux sur la durée courue devient égale à celle de l’opération conduite dans son ensemble.
Reginald
