Le Montant des Intérêts Périodiques doit-il être Arrondi où non ?

[Marioux]

Bonjour Friedrich,

A titre tout à fait personnel, quand je paye mon pain, fait le plein de benzine, m'acquitte de mes agios ou encaisse mes salaires et dividendes, la précision au centime me suffit amplement.

Je vois que nos avis se rejoignent, ici ! ...

Mais si vous dites qu'il y a un complot bancaire international, je veux bien vous croire.

Ai-je écrit cela ? : J'ai juste démontré, par tous ces Calculs successifs, que l'Hypothèse d'Aristide qui dit qu'il ne faut pas Arrondir tous les Montants Monétaires, affirmation péremptoire, ne tient pas la route, que c'est une Erreur de principe ! : Vous avez peut-être d'ailleurs remarqué qu'il a tenté vainement quelquefois de souligner des Erreurs de ma part dans cette démonstration, alors que c'est lui qui se fourvoyait totalement !

Combien vous dois-je, docteur ?

L'ironie ne vous quitte donc jamais ?
Avez-vous des arguments plus constructifs pour appuyer ou démonter telle ou telle thèse ? : Ils seraient les bienvenus !
Si vraiment cela ne change rien ou pas grand-chose d'Arrondir ou Non, pourquoi alors tenir tant à ne pas Arrondir et ainsi compliquer les choses, car enfin à combien de Décimales faut-il alors s'arrêter ?
Pourquoi laisser planer le doute sur les Valeurs portées aux Tableaux d'Amortissement, avec quantité de Décimales cachées à l'Emprunteur ?
Ne croyez-vous donc pas que par simplification et pour la protection et l'information exacte du Consommateur il conviendrait d'imposer ces Règles d'Arrondis ?
Cdt.

 

[Aristide]

Ci-joint exemple de mon " affirmation péremptoire, ne tient pas la route, que c'est une Erreur de principe ! "...............méthode d'ailleurs utilisée par plusieurs banques.

 

[Marioux]

Bonjour à tous,

Il faudrait être logique et cohérent dans tout le processus de calcul.

OK ! Alors, allons-y !
Permettez-moi de présenter son dernier Cas de Prêt du Post #32 en faisant apparaître quelques-unes de ses Décimales Supplémentaires Cachées, mais en n’affichant que les 4 Échéances Extrêmes pour limiter la Taille des Tableaux, tout d’abord Sans Arrondir les Montants Monétaires, puis, pour comparaisons, en les Arrondissant de Différentes façons ;
Capital de 200 000€ Emprunté sur 240 Mois au Taux d’Intérêt Conventionnel Annuel Fixé au Contrat à 2%.

0) Montants Monétaires Non Arrondis :
0.1) Montant des Échéances Mensuelles Constant :

Le Coût Théorique du Prêt est de 1 011,76 667 009 023…€ x 240 Échéances – 200 000€ ~ 42 824€ !
La Banque ne cède, ici, aucun Intérêt (-0,00 000 000 101 863 407…€ ~ 0,00€ !), mais ne peut Effectivement et Pratiquement pas prélever les 0,00 667 009 023…€ Mensuels et l’Emprunteur ne peut les Payer d’aucune façon ! ...
Ces Résidus proviennent de la Précision des Calculs d’Excel !

Le Taux Débiteur Proportionnel Annuel Théorique Calculé au travers de la Fonction TRI d’Excel est ici Strictement Égal au Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Annuel Fixé au Contrat à 2% !
On obtient encore Strictement la même Valeur par un Calcul Inverse, Ligne par Ligne, ou par la Moyenne Pondérée !

0.2) Montant des Intérêts Périodiques Constant :

Le Coût Théorique du Prêt est de 333,33 333 333 333…€ x 240 Échéances ~ 80 000€ !
La Banque ne cède, ici, absolument aucun Intérêt (0,00€ !), mais ne peut Effectivement et Pratiquement pas prélever les 0,00 333 333 333…€ Mensuels et l’Emprunteur ne peut les Payer d’aucune façon ! ...
Le Montant Théorique Constant des Intérêts Périodiques, Mensuels, est Égal à 200 000€ x 2% / 12 = 333,33…€ !
Et là on remarque que les Montants des Intérêts Affichés en Colonne D ne comporte que 15 Chiffres Significatifs Exacts (les "3"), suivis de "0" en Quantité Indéfinie, voire Infinie si on le souhaite, ce qui, en fait, ne change rien ! ...
Ceci est dû à la Capacité en Précision de Calcul d’Excel, et cela veut dire qu’il convient de ne pas accepter sans discernement les Résultats de ses Calculs et ne pas se fourvoyer en croyant les Contrôler en Affichant 30 Décimales Nulles ("0") derrière la Virgule Décimale, comme le fait Aristide, sans doute pour impressionner le Lecteur !
(Le problème est, bien sûr, le même au cas précédent, 0,1), mais il y est moins apparent ou évident : Seuls 15 Chiffres y sont Significatifs !)

Le Taux Débiteur Proportionnel Annuel Théorique Calculé au travers de la Fonction TRI d’Excel est ici Strictement Égal au Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Annuel Fixé au Contrat à 2% !
On obtient encore Strictement la même Valeur par un Calcul Inverse, Ligne par Ligne, ou par la Moyenne Pondérée !

C’est sans doute sur ces constatations que Banquiers, Financiers et Spécialistes de l’Établissement de Tableaux d’Amortissement de Prêts s’appuient pour affirmer que "Taux Débiteur est Synonyme de Taux Conventionnel", ce qui est une contre-vérité ! :
Mais ce n’est pas parce que 2 Entités sont Différentes qu’elles ne peuvent pas, quelquefois, être Égales entre elles ! ...

Si l’on veut que les Montants des Échéances puissent être Réellement Payés, il convient d'Arrondir des Montants Monétaires !
Encore faut-il s’accorder sur la manière de le faire, et c’est là que le bât blesse !
Cdt.

 

[Marioux]

Bonjour à tous,
Hier nous avons vu des Échéanciers aux Montants Monétaires Non Arrondis, aujourd’hui, nous allons les Arrondir !

1) Montants des Intérêts Périodiques Arrondis au Centime d’€uro Inférieur :
L’Arrondi au Chiffre Inférieur est choisi car qu’il permet de s’assurer d’emblée que les Taux d’Intérêts Effectifs Périodiques Proportionnels sont bien Majorés par le Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Périodique !

1.1) Montant des Échéances Mensuelles Presque Constant :

Le Coût du Prêt est de 1 011,77€ x 239 + 1 009,27€ – 200 000€ = 42 822,30€ < 42 824€ (Coût Théorique) !
La Banque peut Effectivement prélever les Montants Mensuels des Échéances mais cède, ici, 1,70€ d’Intérêts par rapport au Cas 0.1) ! ... :
En Pourcentage, cela représente 1,70€ / 42 824€ = 0,000 039 697 365 963… ~ 0,4%% !
Pas de quoi, tout de même, ruiner la Banque, enfin je ne pense pas ! ...

Maintenant, Friedrich, s’il nous lit encore, pourrait nous faire savoir lequel des 2 Tableaux d’Amortissement il préfère entre les Cas 0.1) aux Valeurs Monétaires Non Arrondies et 1.1) aux Montants des Intérêts Périodiques Arrondis au Centime d’€uro Inférieur ?
Le second n’est-il pas plus simple pour tout le monde, y compris pour l’Emprunteur néophyte qui doit être protégé ?

Le Taux Débiteur Proportionnel Annuel Calculé au travers de la Fonction TRI d’Excel est ici Égal à 1,99 994 562 262…%, Inférieur au Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Annuel Fixé au Contrat à 2% !
On obtient des Valeurs très Proches (Dues aux Arrondis !) par des Calculs Inverses, Ligne par Ligne, ou par la Moyenne Pondérée !

1.2) Montant des Intérêts Périodiques Constant :

Le Coût du Prêt est de 333,33€ x 240 Échéances = 79 999,20€ < 80 000€ (Coût Théorique) !
La Banque peut, encore, Effectivement prélever les Montants Mensuels des Échéances mais cède, ici, 0,80€ d’Intérêts par rapport au Cas 0.2) ! ... : En Pourcentage, cela représente 0,80€ / 80 000,00€ = 0,00 001 = 0,1%% !

Le Taux Débiteur Proportionnel Annuel Théorique Calculé au travers de la Fonction TRI d’Excel est ici Égal à 1,99 998%, Inférieur au Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Annuel Fixé au Contrat à 2% !
On obtient, ici, Strictement la même Valeur par un Calcul Inverse, Ligne par Ligne, ou par la Moyenne Pondérée !

Dans le Cas présent, le Prêteur aurait beau jeu de faire valoir son Offre en Affichant un Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Annuel de 1,99 998% (Psychologiquement Inférieur à 2%) !
D’ailleurs, le Tableau d’Amortissement est, ici, Strictement le même que le Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Annuel Fixé au Contrat soit de 2% ou de 1,99 998% !
Les Arrondis sont sans Incidence car 200 000€ x 1,99 998% / 12 = 333,33€ ! : Ce Montant tombe juste à l’€C près !

S’il fallait démontrer que le "Taux Débiteur est une Entité Différente de celle du Taux d’Intérêt Conventionnel", on ne si prendrait pas mieux, me semble-t-il ! : Et ce d'autant plus que le premier est Calculé alors que le second est Fixé au Contrat !
Cdt.

 

[Marioux]

Bonjour à tous,

1.2) Montant des Intérêts Périodiques Constant :
Afficher la pièce jointe 5587

Avec toutes mes excuses, je viens, ici, rectifier, en Colonne H, le Tableau ci-dessus :

Il n'y a aucune conséquence sur le Raisonnement et les Conclusions de la Démonstration, mais cela fait plus sérieux !
Cdt.

 

[Marioux]

Bonjour à tous,
Après avoir Arrondi les Montants des Intérêts Périodiques au Centime d’€uro Inférieur, nous allons maintenant décortiquer la façon de procéder défendue par Aristide, qui consiste à ne pas Arrondir ces Montants, mais ceux des Échéances !

2) Montants des Intérêts Périodiques Non Arrondis et Montants des Échéances Arrondis au Centime d’€uro :
2.1) Montant des Échéances Mensuelles Presque Constant :

On remarquera, en Cellule C247, l’Arrondi au Centime d’€uro Inférieur pour éviter que le Taux Effectif Débiteur Périodique Proportionnel Annualisé, en Cellule G247, soit Supérieur au Taux d’Intérêt Périodique Proportionnel Annuel (2%) .
Le Coût du Prêt est de 1 011,77€ x 239 + 1 010,78€ – 200 000€ = 42 823,81€ < 42 824€ (Coût Théorique) !
La Banque peut Effectivement prélever les Montants Mensuels des Échéances mais cède, ici, 0,19€ d’Intérêts par rapport au Cas 0.1) !

Remarque:
Excel ne sait pas Calculer Exactement au-delà d’un certain Nombre de Chiffres Significatifs ! Le Nombre des Décimales Exactes en dépendent ! :
Par exemple, pour la Fraction 1/3€, il n’en donne qu’une approximation à 15 Décimales et Chiffres Significatifs : 0,333 333 333 333 333 000 …€ !
Et pour 1/3M€ : 333 333,333 333 333 000 …€ : Ici, seules 9 Décimales sont Exactes parmi les 15 Chiffres Significatifs !
C’est pourquoi Microsoft donne le conseil suivant :
"Pour réduire les effets de l’inexactitude de stockage arithmétique en virgule flottante, vous pouvez également utiliser la fonction arrondi pour arrondir les nombres en fonction du nombre de décimales nécessaires à votre calcul."
Alors quand Aristide Calcule et Affiche un Contrôle à 30 Décimales et un Abandon d’Intérêts par la Banque à 17 Décimales, on se demande bien où en est le bien-fondé !

2.2) Montant des Intérêts Périodiques Constant :

Le Coût Théorique du Prêt est de 333,33…€ x 240 ~ 80 000€ alors que son Coût Réel est de 333,33€ x 240 = 79 999,20€ !
La Banque ne cède, ici, Théoriquement absolument aucun Intérêt (0,00€ !) selon la Colonne D, mais, Pratiquement, elle cède quand même 0,80€ selon la Colonne C ! : Il y a une incohérence flagrante !

Dans le Cas présent, on retrouve Strictement le même Tableau d’Amortissement que dans le Cas 1.2), à l’exception près de la Colonne D où les Montants des Intérêts Périodiques ne sont pas Arrondis dans ce Cas 2.2) alors qu’ils le sont dans le Cas 1.2)

Le Taux Débiteur Proportionnel Annuel Réel Calculé au travers de la Fonction TRI d’Excel est encore, ici, Égal à 1,99 998%, Inférieur au Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Annuel Fixé au Contrat à 2% !
On obtient encore, ici, Strictement la même Valeur par un Calcul Inverse, Ligne par Ligne, ou par la Moyenne Pondérée !

En traitant ce Cas 2.2), par l’applicatif d’Aristide, tel qu’il est conçu, on obtient un Taux Débiteur Proportionnel Annuel de 2,00 000%, Théorique, qui ne correspond donc pas à la Réalité des Remboursements !
Où est donc passé le bien-fondé de ne pas Arrondir les Montant des Intérêts Périodiques ?
Cdt.

 

[Marioux]

Bonjour à tous,
Nouvelle tentative de convertir Aristide (Bien silencieux, ces derniers temps, dans cette Discussion !) par une Dernière mise au point :
Jusqu’à présent, pour son Cas présenté au Post #32, le Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel Annuel Fixé au Contrat était de 2% et le Capital Initial Emprunté de 200 000€, si bien que, pour un Remboursement Strictement Mensuel et un Calcul des Intérêts selon la Méthode dite du Mois Normalisé, on avait Systématiquement :
Montant des Intérêts de la Première Échéance : 200 000€ x 2% / 12 = 4 000€ / 12 = 333,33…€. ;
Arrondi au Centime d’€uro le Plus Proche : 333,33€, Égal à l’Arrondi au Centime d’€uro Inférieur !

Cas 2.2) où le Principal n’est Remboursé qu’au Terme du Prêt :
Coût Théorique du Prêt : 333,33…€ x 240 = 80 000€ ! ; Coût Réel du Prêt : 333,33€ x 240 = 79 999,20€ < 80 000€!
La Banque cède 80 000€ - 79 999,20€ = 0,80€, soit 0,80€ / 80 000€ = 0,00 001 = 0,1%% !
Taux Effectif Périodique, Annualisé : 333,33€ x 12 / 200 000€ = 0,01 999 98 = 1,99 998% < 2% !

Il peut en être autrement ; Avec, par exemple, un Capital Initial Emprunté de 100 000€, on aurait :
100 000€ x 2% / 12 = 2 000€ / 12 = 166,66…€ ; Coût Théorique du Prêt : 166,66…€ x 240 = 40 000€ !
Arrondi au Centime d’€uro le Plus Proche : 166,67€ ; Coût Réel du Prêt : 166,67€ x 240 = 40 000,80€ > 40 000€ !
L'Emprunteur cède 40 000,80€ - 40 000€ = 0,80€, soit 0,80€ / 40 000€ = 0,00 002 = 0,2%% !
Taux Effectif Périodique, Annualisé : 166,67€ x 12 / 100 000€ = 0,02 000 04 = 2,00 004% > 2% !
Pour rester cohérent, si l’on tient tant à ce que le Taux d’Intérêt Conventionnel Proportionnel ne soit jamais dépassé, il ne reste plus que la Solution d’Arrondir Tous les Montants des Intérêts Périodiques à l’€C Inférieur !
100 000€ x 2% / 12 = 2 000€ / 12 = 166,66…€ ;
Arrondi au Centime d’€uro Inférieur : 166,66€ ; Coût Réel du Prêt : 166,66€ x 240 = 39 998,40€ < 40 000€ !
Taux Effectif Périodique, Annualisé : 166,66€ x 12 / 100 000€ = 0,01 999 92 = 1,99 992% < 2% !

Sur la Question de savoir si la Banque est pénalisée ou non en "cédant" ainsi (Sur 20 Ans ! ...), les 1,60€ si précieux :
Si ce Mode, Logique, de Calcul des Montants des Intérêts Périodiques, Arrondis à l’Inférieur, était le seul Légal, les Banques seraient toutes sur un pied d’égalité et aucune ne serait pénalisée par rapport à une autre !
Et si l’une d’elles estimait qu’elle ne peut pas se permettre de se passer de ces quelques €uros et Centimes, libre à elle d’augmenter son Taux d’Intérêt Conventionnel pour compenser au niveau qu’elle souhaite (2,00 004%, par exemple, qui donnerait un Surcoût de 0,80€ !) :

100 000€ x 2,00 004% / 12 = 2 000€ / 12 = 166,67€ ;
Arrondi au Centime d’€uro Inférieur : 166,67€ ; Coût Réel du Prêt : 166,67€ x 240 = 40 000,80€ !
Taux Effectif Périodique, Annualisé : 166,67€ x 12 / 100 000€ = 0,02 000 04 = 2,00 004% !
Logique ! ... Non ?
Cdt.