Je n'arrive pas à éditer mon message.
Je le reposte donc avec une coquille corrigée (en rouge ci-dessous) 
Note Fred : message précédent supprimé
Bonjour,
Ayant cherché cette formule du prêt lissé dans Google, je suis tombé sur ce forum. J'ai pas mal tâtonné avec mon stylo et mon cahier pour y arriver mais finalement, j'ai trouvé la formule.
Je mets donc mon raisonnement ici au cas où d'autres gens le cherchent dans Google et tombent là-dessus C'est assez long mais pas très difficile à suivre.
1/
D'abord, retrouvons la formule du prêt non lissé :
Soit E le capital emprunté, M la mensualité, Ei le capital restant dû lors du iième mois, Ii le montant d'intérêts payés lors du iième mois, Ci le montant de capital remboursé lors du iième mois, T le taux d'intérêt (déjà mensualisé pour ne pas avoir "T/12" dans toutes les formules) et N le nombre total de mois.
Lors du nième mois, la mensualité M est composée des intérêts remboursés et du capital remboursé :
M = In + Cn
et les intérêts sont calculés sur le capital restant dû :
In = En * T
Le mois suivant (n+1), le capital restant dû est donc réduit de Cn :
En+1 = En - Cn
Les intérêts payés au mois n+1 sont donc de :
In+1 = En+1 * T
In+1 = (En - Cn) * T
Le capital remboursé au mois n+1 est donc égal à :
Cn+1 = M - In+1
Cn+1 = M - (En - Cn) * T
Cn+1 = M - En * T + Cn * T
Cn+1 = M - In + Cn * T
Cn+1 = Cn + Cn * T
Cn+1 = Cn * (1 + T)
Donc le capital remboursé chaque mois augmente à proportion de T et donc :
Cn = C1 * (1 + T)^(n - 1) =>(égalité I)
A partir de là, on sait que C1 = E1 - I1, et lors du premier mois, rien n'a été remboursé donc E1 = E et donc :
C1 =
M - I1
C1 =
M - E * T
Lors du dernier mois (N), EN = CN et si on imagine un mois fictif N+1, on aura EN+1 = 0 et puisqu'il n'y aura pas de d'intérêts à rembourser :
CN+1 = M et avec l'égalité I
M = C1 * (1 + T)^N soit
C1 = M * (1 + T)^(-N)
or C1 = M - I1 = M - E * T d'où
M - E * T = M * (1 + T)^(-N)
M * (1 - (1 + T)^(-N)) = E * T
M = E * T / [1 - (1 + T)^(-N)] =>formule classique de la mensualité (égalité II)
2/
Maintenant dans le cas d'un prêt lissé :
Notations :
Variables suffixées de "a" prêt principal
Variables suffixées de "a1" prêt principal dans sa première phase
Variables suffixées de "a2" prêt principal dans sa deuxième phase
Variables suffixées de "b" prêt annexe (plus court)
Avec l'égalité II, Mb est connu puisque toutes les données sont disponibles (Eb, Tb et Nb)
Par définition du prêt lissé, on a :
Ma1 + Mb = Ma2
Ma2 - Ma1 = Mb =>(égalité III)
(en considérant qu'il n'y a pas d'assurance, sinon, "Ma2 - Ma1 = Mb + mensualité_de_l'assurance_du_prêt_annexe")
Calculons maintenant Ma1 et Ma2 en fonction de Ea2, le capital restant dû sur le prêt principal à la fin de la phase 1
Toujours avec l'égalité 2, on déduit par application directe :
Ma2 = Ea2 * Ta / [1 - (1 + Ta)^(-Na2)] =>(égalité IV)
Pour calculer Ma1, considérons le mois Na1+1 : lors de ce mois le capital restant dû ENa1+1 est par définition Ea2. D'où :
CNa1+1 = Ma1 - INa1+1
CNa1+1 = Ma1 - ENa1+1 * Ta
CNa1+1 = Ma1 - Ea2 * Ta et avec l'égalité I,
Ma1 - Ea2 * Ta = Ca1 * (1 + Ta)^(Na1)
Ma1 - Ea2 * Ta = (Ma1 - Ia1) * (1 + Ta)^(Na1)
Ma1 - Ea2 * Ta = (Ma1 - Ea * Ta) * (1 + Ta)^(Na1)
Ma1 - Ea * Ta = (Ma1 - ENa1+1 * Ta) * (1 + Ta)^(-Na1)
Ma1 * (1 - (1 + Ta)^(-Na1)) = E * Ta - Ea2 * Ta * (1 + Ta)^(-Na1)
Ma1 = [E * Ta - Ea2 * Ta * (1 + Ta)^(-Na1)] / [1 - (1 + Ta)^(-Na1)] =>(égalité V)
Et donc, avec (III), (IV) et (V) :
Ea2 * Ta / [1 - (1 + Ta)^(-Na2)] - [E * Ta - Ea2 * Ta * (1 + Ta)^(-Na1)] / [1 - (1 + Ta)^(-Na1)] = Mb
Pour simplifier les notations, posons X = (1 + Ta)^(-Na1) et Y = (1 + Ta)^(-Na2)
Ea2 * Ta / [1 - Y] - [E * Ta - Ea2 * Ta * X] / [1 - X] = Mb
Ea2 * Ta * (1 - X) - [E * Ta - Ea2 * Ta * X] * (1 - Y) = Mb * (1 - X) * (1 - Y)
Ea2 * [Ta * (1 - X) + Ta * X * (1 - Y)] = Mb * (1 - X) * (1 - Y) + E * Ta * (1 - Y)
Ea2 = [Mb * (1 - X) * (1 - Y) + E * Ta * (1 - Y)] / [Ta * (1 - X) + Ta * X * (1 - Y)]
A partir de cette formule découle Ma2 d'après l'égalité IV:
Ma2 = [Mb * (1 - X) * (1 - Y) + E * Ta * (1 - Y)] / [Ta * (1 - X) + Ta * X * (1 - Y)] * Ta / [1 - Y]
puis Ma1 avec l'égalité III :
Ma1 = Ma2 - Mb
Ma1 = [Mb * (1 - X) * (1 - Y) + E * Ta * (1 - Y)] / [Ta * (1 - X) + Ta * X * (1 - Y)] * Ta / [1 - Y] - Mb
Voilà, c'est tout !
C'est un peu long à rentrer dans Excel mais ça marche
