Formule mathématique taux lissé

magfen

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Je ne comprend pas que signifie Ea1. Est-ce que c'est le montant du au debut de la phase 1, soit le montant totale du pret?

Merci de vos reponses.
 

SBD92

Nouveau membre
Je ne comprend pas que signifie Ea1. Est-ce que c'est le montant du au debut de la phase 1, soit le montant totale du pret?

Merci de vos reponses.
Bonjour,
je suis mois aussi en train de me plonger dans les prêts immobiliers.
J'ai bien regardé dans le détail les différents calculs et ai moi aussi des questions.
A quoi correspondent les variables suivantes?
- Ea1 = Capital restant dû au début du prêt principal dans sa 1ère phase.
- Ea2 = Capital restant dû au début du prêt principal dans sa 2ème phase.
- Ea = Capital restant dû au début du prêt principal. Je ne comprends notamment pas la formule de Joslah (post #14): Ea = Ea1 + Ea2X.
- E = ??? Je ne comprends notamment pas la formule de Joslah (post #14), dans lequel j'ai l'impression que Ea1 est progressivement remplacé par Ea puis E.

Merci d'avance à tous pour votre aide.
 

Pendragon

Contributeur régulier
Ai je bien compri ce que vous souhaitez faire ?

un exemple :
prêt 1:100.000€ à 4% sur 15 ans=mensualité=736,69€
prêt 2:30.000€ à 2% sur 10 ans=276,04€

au lieu d'avoir sur 10 ans (276,04€+736,69€)=1015.73€
puis des que le prêt 2 se termine la mensualité passe à 276,04€,

en faisant un lissage on peut obtenir une mensualité de 941,36€ pendant toute la durée du prêt les 2 mensualités confondus grace au lissage soit

prêt 1=665.32€ sur 10 ans puis 941.36€ sur 5 ans
prêt 2=276,04€ sur 10 ans

si j'ai bien compris ce que vous cherchez ,c'est la méthode ou la formule pour faire la même chose sur un prêt avec un différé de remboursement de capital.

------------

Ma reponse sera

Pour le prêt à 0% sur 22 ans, le remboursement mensuel des 4 dernières années est:
16769/48=349,35 €
Le premier prêt est sur 20 ans. Si le remboursement est à mensualités constantes, cette mensualité est de 1160,78 €.
Pendant les années 19 et 20, la mensualité totale est de 1160,78+349,35=1510,13 €.
On peut donc essayer d'augmenter la mensualité pendant les 18 premièes années, de façon à avoir une mensualité totale constante pendant 20 ans. Si a est la mensualité pendant les années 19 et 20, elle sera a+349,35 pendant les 18 premières années. Il suffit d'écrire que la valeur actuelle au moment de l'emprunt des 240 mensualités est égale à 193 231 € (montant de l'emprunt). On trouve: a= 832,11€ (mensualités des années 19 et 20) et
a+349,35=1181,46 € (mensualités des années 1 à 18).
Le prêt n'est pas totalement lissé, car les mensualités des années 21 et 22 ne sont plus que de 349,35€. Mais je ne sais pas si l'on peut changer la règle du jeu pour l'emprunt à taux 0%.

l'emprunt de 193 231 est remboursé en 216 mensualités (18 ans) d'un montant a+349.35, suivi par 24 mensualités (2 ans) de a, soit 240 mensualités de montant a (de la date 1 à la date 240) et 216 mensualités de montant 349.35 (de la date 1 à la date 216).
La valeur actuelle (date 0 = date de l'emprunt) de 216 mensualités de 1 euro est:155,028439 euros (calcul fait avec la fonction VA d'Excel), donc la valeur date 0 de 216 mensualités de 349,35 est:
349.35*155,028439 =54 159,1852 euros.
De même la valeur actuelle (date 0 = date de l'emprunt) de 240 mensualités de 1 euro est:166,465799 euros, donc la valeur date 0 de 240 mensualités de montant a est: a*166,465799 euros.
Le total est donc le montant de l'emprunt, ce qui donne:
193 231=54 159,1852 +a*166,465799 .
Finalement: a=835,44 euros (j'ai trouvé la valeur obtenue avec le solveur d'Excel: 832,11 euros).

Rappel: la valeur actuelle de n mensualités, au taux mensuel i, est donnée par la formule:
(1-(1+i)^(-n))/i. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,140590,141463#REPLY
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,140590,141140#REPLY
 

roger78

Membre
Un mot : chapeau ! :cool:
Il n'est juste pas évident de comprendre ce à quoi correspond "physiquement" Ea1 (et tous les Eaj, j<K).

Sinon ça vaudrait peut-être le coup de "fusionner" les deux messages pour avoir un raisonnement complet plus didactique (si j'ai le temps et le courage).
Bonjour
Y = (1+taux1/12)^(-12*(Durée1/12-Durée2/12))

X = (1+Taux1/12)^-durée2

Z = (1+Taux1/12)^-durée3

W = (1+Taux1/12)^-durée4

Ea = Prêt principal

Ta = Taux du prêt principal

Mb = Mensualité du prêt complémentaire 2
Mc = Mensualité du prêt complémentaire 3
Md = Mensualité du prêt complémentaire 4

Ce qui donne
Pour K=2 (on a donc 2 crédits)
Ma2 = (Ea * Ta/12 + Mb * (1 - X)) / (1 - X * Y)

Pour K=3 (donc 3 credits)
Ma3 = (Ea * Ta/12 + Mb * (1 - X) + Mc * (1 - Z)) / (1 - X * Y )

Pour K=4 (4 credits)
Ma4 = (Ea * Ta/12 + Mb * (1 - X) + Mc * (1 - Z) + Md * (1 -W)) / (1 - X * Y )

Formule qui vous permet de trouver la mensualité du prêt d'ensemble avec différents crédits
 
Dernière modification:

kaolivier

Membre
Bonjour
Y = (1+taux1/12)^(-12*(Durée1/12-Durée2/12))

X = (1+Taux1/12)^-durée2

Z = (1+Taux1/12)^-durée3

W = (1+Taux1/12)^-durée4

Ea = Prêt principal

Ta = Taux du prêt principal

Mb = Mensualité du prêt complémentaire 2
Mc = Mensualité du prêt complémentaire 3
Md = Mensualité du prêt complémentaire 4

Ce qui donne
Pour K=2 (on a donc 2 crédits)
Ma2 = (Ea * Ta/12 + Mb * (1 - X)) / (1 - X * Y)

Pour K=3 (donc 3 credits)
Ma3 = (Ea * Ta/12 + Mb * (1 - X) + Mc * (1 - Z)) / (1 - X * Y )

Pour K=4 (4 credits)
Ma4 = (Ea * Ta/12 + Mb * (1 - X) + Mc * (1 - Z) + Md * (1 -W)) / (1 - X * Y )

Formule qui vous permet de trouver la mensualité du prêt d'ensemble avec différents crédits

Bonjour a tous,

Je me permets un petit déterrage de message car 4ans aprés cette équation intéresse toujours?

J'ai actuellement 3 crédits
le principal : 100 000 euros a 3% sur 240mois
le second : 80 000 euros a 1.5% sur 180 mois
le PTZ : 60 000 euros à 0% sur 120mois avec un différé de 180mois

J'ai tenté l’équation ci-dessous et j'ai trouvé - 7.854265 euros... à mon avis j'ai loupé pas mal de trucs ...

Quelqu'un pourrait m’éclairer s'il vous plait dans la répartition des infos dans l'équation ?

Merci pour tout.
 

MRGT34

Contributeur régulier
Vous ne risquez pas d'y arriver, la durée totale du PTZ est de 25 ans, de 5 ans supérieure à celle du prêt principal d'une durée de 20 ans.

Sur le plan des principes, il faut calculer, sur cette durée de 20 ans, la mensualité totale qui amortit un prêt fictif d'un montant égal à 100.000 + la valeur présente au taux de 3 % sur 15 ans de l'échéance de remboursement du prêt de 80.000 (496,59 €) + la valeur présente au taux de 3 % des échéances du PTZ sur 20 ans seulement, savoir 0 € durant 15 ans et 500 € durant 5 ans.

Le résultat donne 1.051,86 € durant 20 ans, sauf erreur possible eu égard à l'heure tardive.
Cette échéance totale = somme des différentes échéances selon les dates.
Par exemple, on a durant 180 mois, 0 pour le PTZ, 496,59 pour le prêt 2 et 1.051,86 - 496,59 = 555,27 € pour prêt principal. Le second prêt est remboursé à l'issue.
Sur les 60 mois suivant, on a 500 pour le PTZ et 551.86 pour le prêt principal qui s'éteint ensuite. Puis on finit de rembourser le PTZ à 500 euros par mois sur les 5 ans qui restent.

La formule dont je viens de donner le principe se programme assez bien sur Excel en combinant les fonctions VPM et VA.

Pour information, il n'existe pas d'ouvrage sur le lissage des échéances car ce sont des techniques de mathématiques financières accessibles à ceux qui savent les manipuler après avoir compris les principes.
Donner des formules n'a pas de sens , car trop de situations particulières.
 

kaolivier

Membre
Merci pour votre réponse, mais comment avez vous obtenu 1051.86. : "Sur le plan des principes, il faut calculer, sur cette durée de 20 ans, la mensualité totale qui amortit un prêt fictif d'un montant égal à 100.000 + la valeur présente au taux de 3 % sur 15 ans de l'échéance de remboursement du prêt de 80.000 (496,59 €) + la valeur présente au taux de 3 % des échéances du PTZ sur 20 ans seulement, savoir 0 € durant 15 ans et 500 € durant 5 ans ", je n'ai pas compris 'la valeur presente' ..... et en clair tout se calcul sur la base du taux du prêt principal ?

Merci pour votre aide
 

Aristide

Top contributeur
Bonjour,

En son temps (12/2011) j'avais vu ce post mais ne m'y étais pas intéressé car il ne correspond pas à ma logique de raisonnement dans les prêts à échéances lissées simples ni dans le montages "gigognes" plus complexes tel le vôtre.

En effet cette façon de faire qui est basée sur des calculs à partir de montants, durées et taux définis ne donne pas des résultats optimisés en termes de coût du crédit à savoir volume d'intérêts + primes assurances payées (que, semble t'il, vous n'avez d'ailleurs pas prises en compte ?) .

Si votre interrogation va au-delà d'une simple "curiosité mathématique" mais vise un projet réel, pour obtenir un coût du crédit optimal, il serait de votre intérêt de raisonner "à l'envers" c'est à dire:

1) - Déterminer votre capacité de remboursement totale = 1/3 des revenus pérennes (CRT)
2) - Déterminer votre capacité de remboursement résiduelle (CRR = CRT - éventuelles charges de crédits existants)
2) - Par rapport à ce "CRR" conserver une marge de sécurité pour obtenir votre "Échéance cible assurances comprises si primes fixes". (Si primes variables = trop compliqué; aucune banque ne le fait)
Cette échéance cible devra être acceptée par votre banque.
3) - A partir du besoin à financer et de la hiérarchie des taux proposée par votre banque = paliers de durées avec taux associés et, donc, de ladite échéance cible :

=> Calculer les durées optimales de telle sorte à trouver la meilleure combinaison "Durées/Taux/Montants" qui génère un total Intérêts plus assurances payées le moins élevé possible.

Donc, dans ce raisonnement inversé ce n'est pas l'échéance lissée qui est calculée, ladite échéance est déterminée/prédéfinie et ce sont les durées optimales qui deviennent alors les résultats.

Ce faisant l'on aboutit souvent à des durée plus courtes donc:

+ Intérêts moindres de par "l'effet taux" puisque - dans la hiérarchie des taux - plus la durée est courte, plus le taux est faible.
A cet effet "taux moindre" s'ajoute un "effet durée"; puisqu'elle est plus courte logiquement le volume des intérêts payé s'en trouve aussi réduit.

+ Moins de primes d'assurances payées de par "l'effet durée".

=> La somme de ces deux composantes du coût du crédit assurant alors un plan de financement et donc un coût bien optimisés.

Mais dans ce raisonnement il n'y a pas de formules de calculs, ce sont des recherches itératives.

A toute fins utiles.

Cdt
 

kaolivier

Membre
Bonjour [B]Aristide[/B] et merci pour ces précisions, et je comprends milles fois votre raisonnement sauf que c'est bien sur la mensualité lissée que réside ma demande.

Dans le cadre d'une association qui s'occupe de primo acquisition sociale, il m'est demandé de réaliser un petit code de programme qui permet la lecture de cette fameuse mensualité lissée. Le code devra se faire en PHP.
Le reste du raisonnement ne m'incombe pas mais il est toujours intéressant de comprendre les mécanismes financiers.

Je recherche vraiment la répartition des données ci-dessus dans l'équation afin de comprendre par assimilation.

Merci à vous.
 

Aristide

Top contributeur
Dans le cadre d'une association qui s'occupe de primo acquisition sociale,

Le reste du raisonnement ne m'incombe pas mais il est toujours intéressant de comprendre les mécanismes financiers..
Qui dit "acquisition sociale" dit acquéreurs/emprunteurs plutôt modestes.

Le raisonnement que je pratique et suggère semblerait donc d'autant plus approprié !

Cdt
 
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