Formule mathématique taux lissé

Benj

Membre
Ayant à chaque fois des difficultés à trouver des résultats identiques lors de lissage de taux sur le pret principal emboité sur un pret aidé, je suis à la recherche de formule mathématique donnant ce résultat.
Est -il possible de connaitre cette formule à intérets composés connaissant le montant du pret principal, le taux, la durée ainsi qu'un pret aidé (PTZ ou 1%) connaissant montant, durée et taux.
Merci beaucoup
 

Fred

Administrateur
Staff MoneyVox
Cherchez sur le forum, vous trouverez des contournements pour calculer vous-même le lissage.

Sur la formule en elle-même, je n'ai pas poussé plus loin mes investigations pour la retrouver. Mais si vous êtes matheux, vous devriez vous en sortir en partant de la formule présentée dans le calcul du TEG

Fred
 

Benj

Membre
Bonjour,

Merci Fred pour votre réponse.

Néanmoins, n'étant pas très matheux, je souhaite que quelqu'un puisse me guider au démarrage : quelle formule mathématique utiliser pour déterminer une mensualité constante dite de lissage et sans abuser me dire pour les 1ers termes de cette formule à quoi peuvent correspondre les indices et exposants.

Sinon, si quelqu'un peut me dire quel manuel de mathématiques financières parle de cette question de lissage à partir de 2 prêts emboités.

Remerciements anticipés

Benj
Je vous en remercie par avance
 
P

Petrus

Bonjour,

Je suis également à la recherche de cette formule que je souhaite intégrer à mon tableau excel personnel pour mon projet immobilier.

Merci.
 
P

Petrus

Bonjour,

Je suis également à la recherche de cette formule que je souhaite intégrer à mon tableau excel personnel pour mon projet immobilier.

Merci.
 

keelize

Membre
Je n'arrive pas à éditer mon message.
Je le reposte donc avec une coquille corrigée (en rouge ci-dessous) :(

Note Fred : message précédent supprimé

Bonjour,

Ayant cherché cette formule du prêt lissé dans Google, je suis tombé sur ce forum. J'ai pas mal tâtonné avec mon stylo et mon cahier pour y arriver mais finalement, j'ai trouvé la formule.

Je mets donc mon raisonnement ici au cas où d'autres gens le cherchent dans Google et tombent là-dessus C'est assez long mais pas très difficile à suivre.

1/
D'abord, retrouvons la formule du prêt non lissé :
Soit E le capital emprunté, M la mensualité, Ei le capital restant dû lors du iième mois, Ii le montant d'intérêts payés lors du iième mois, Ci le montant de capital remboursé lors du iième mois, T le taux d'intérêt (déjà mensualisé pour ne pas avoir "T/12" dans toutes les formules) et N le nombre total de mois.

Lors du nième mois, la mensualité M est composée des intérêts remboursés et du capital remboursé :
M = In + Cn
et les intérêts sont calculés sur le capital restant dû :
In = En * T
Le mois suivant (n+1), le capital restant dû est donc réduit de Cn :
En+1 = En - Cn
Les intérêts payés au mois n+1 sont donc de :
In+1 = En+1 * T
In+1 = (En - Cn) * T
Le capital remboursé au mois n+1 est donc égal à :
Cn+1 = M - In+1
Cn+1 = M - (En - Cn) * T
Cn+1 = M - En * T + Cn * T
Cn+1 = M - In + Cn * T
Cn+1 = Cn + Cn * T
Cn+1 = Cn * (1 + T)

Donc le capital remboursé chaque mois augmente à proportion de T et donc :
Cn = C1 * (1 + T)^(n - 1) =>(égalité I)

A partir de là, on sait que C1 = E1 - I1, et lors du premier mois, rien n'a été remboursé donc E1 = E et donc :
C1 = M - I1
C1 = M - E * T

Lors du dernier mois (N), EN = CN et si on imagine un mois fictif N+1, on aura EN+1 = 0 et puisqu'il n'y aura pas de d'intérêts à rembourser :
CN+1 = M et avec l'égalité I
M = C1 * (1 + T)^N soit
C1 = M * (1 + T)^(-N)
or C1 = M - I1 = M - E * T d'où
M - E * T = M * (1 + T)^(-N)
M * (1 - (1 + T)^(-N)) = E * T
M = E * T / [1 - (1 + T)^(-N)] =>formule classique de la mensualité (égalité II)

2/
Maintenant dans le cas d'un prêt lissé :
Notations :
Variables suffixées de "a" prêt principal
Variables suffixées de "a1" prêt principal dans sa première phase
Variables suffixées de "a2" prêt principal dans sa deuxième phase
Variables suffixées de "b" prêt annexe (plus court)

Avec l'égalité II, Mb est connu puisque toutes les données sont disponibles (Eb, Tb et Nb)
Par définition du prêt lissé, on a :
Ma1 + Mb = Ma2
Ma2 - Ma1 = Mb =>(égalité III)
(en considérant qu'il n'y a pas d'assurance, sinon, "Ma2 - Ma1 = Mb + mensualité_de_l'assurance_du_prêt_annexe")

Calculons maintenant Ma1 et Ma2 en fonction de Ea2, le capital restant dû sur le prêt principal à la fin de la phase 1
Toujours avec l'égalité 2, on déduit par application directe :
Ma2 = Ea2 * Ta / [1 - (1 + Ta)^(-Na2)] =>(égalité IV)

Pour calculer Ma1, considérons le mois Na1+1 : lors de ce mois le capital restant dû ENa1+1 est par définition Ea2. D'où :
CNa1+1 = Ma1 - INa1+1
CNa1+1 = Ma1 - ENa1+1 * Ta
CNa1+1 = Ma1 - Ea2 * Ta et avec l'égalité I,
Ma1 - Ea2 * Ta = Ca1 * (1 + Ta)^(Na1)
Ma1 - Ea2 * Ta = (Ma1 - Ia1) * (1 + Ta)^(Na1)
Ma1 - Ea2 * Ta = (Ma1 - Ea * Ta) * (1 + Ta)^(Na1)
Ma1 - Ea * Ta = (Ma1 - ENa1+1 * Ta) * (1 + Ta)^(-Na1)
Ma1 * (1 - (1 + Ta)^(-Na1)) = E * Ta - Ea2 * Ta * (1 + Ta)^(-Na1)
Ma1 = [E * Ta - Ea2 * Ta * (1 + Ta)^(-Na1)] / [1 - (1 + Ta)^(-Na1)] =>(égalité V)

Et donc, avec (III), (IV) et (V) :
Ea2 * Ta / [1 - (1 + Ta)^(-Na2)] - [E * Ta - Ea2 * Ta * (1 + Ta)^(-Na1)] / [1 - (1 + Ta)^(-Na1)] = Mb
Pour simplifier les notations, posons X = (1 + Ta)^(-Na1) et Y = (1 + Ta)^(-Na2)
Ea2 * Ta / [1 - Y] - [E * Ta - Ea2 * Ta * X] / [1 - X] = Mb
Ea2 * Ta * (1 - X) - [E * Ta - Ea2 * Ta * X] * (1 - Y) = Mb * (1 - X) * (1 - Y)
Ea2 * [Ta * (1 - X) + Ta * X * (1 - Y)] = Mb * (1 - X) * (1 - Y) + E * Ta * (1 - Y)
Ea2 = [Mb * (1 - X) * (1 - Y) + E * Ta * (1 - Y)] / [Ta * (1 - X) + Ta * X * (1 - Y)]
A partir de cette formule découle Ma2 d'après l'égalité IV:
Ma2 = [Mb * (1 - X) * (1 - Y) + E * Ta * (1 - Y)] / [Ta * (1 - X) + Ta * X * (1 - Y)] * Ta / [1 - Y]
puis Ma1 avec l'égalité III :
Ma1 = Ma2 - Mb
Ma1 = [Mb * (1 - X) * (1 - Y) + E * Ta * (1 - Y)] / [Ta * (1 - X) + Ta * X * (1 - Y)] * Ta / [1 - Y] - Mb

Voilà, c'est tout !
C'est un peu long à rentrer dans Excel mais ça marche
 
Dernière modification par un modérateur:

jpma

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Bonjour votre tableau excel fonctionne t'il ?

Pouvez vous nous faire partagé votre tableau.

J'ai essayé a plusieurs reprise de faire un tel calcul mais je ne retombais jamais sur mes pieds.

Merci par avance,
jpma
 

keelize

Membre
Bonjour,

Oui, mon tableau Excel fonctionne :)

Voilà un lien vers le tableau (c'est assez orienté "vaut-il mieux acheter que de continuer à louer") :
http://clement.contet.googlepages.com/simulations_immobilieres.xls

Les formules du prêt lissé sont :
- dans les cases H9:I12 (avec les mêmes notations "X" et "Y" que dans mon explication précédente) pour les étapes intermédiaires
- dans les cases B15 et B17 pour les mensualités Ma1 et Ma2.

N'hésitez pas si vous avez d'autres questions.
 

jpma

Membre
bonjour et merci pour votre réponse et pour votre tableau,
je le regerderai ce soir, car de mon lieu de travail. (je vais quand meme regarder si je ne trouve pas une solution pour le voir mainteant ;) )

merci a vous !!
 

jpma

Membre
Re, j'ai reussi a voir votre tableau,
Talbeau très pratique d'ailleurs mais sauf erreur il correspond a un crédit à palier, je n'arrive pas a voir le lissage reeleement obtenu, également et par ailleurs il vous serai peut etre intéressant d'intégrer la condition que le tx puisse etre de 0% pour un PTZ (actuelement erreur #div, normal on ne peux pas diviser par 0).


J'ai encore une autre remarque mais qui n'est certainement pas constructive, le taux d'augmentation de l'immobilier de 3% , soit 0.25 % mensuel me parait surévalué à ce jour, l'immoblier ayant subi une très forte hausse durant quelques années, ce taux est a ce jour plutot en baisse, d'autant plus avec l'augementation constaté sur les taux de crédit.

N'etant pas du métier, j'ai peut etre une fausse image du marché...

jpma
 
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