Décryptage PMT/VPM avec valeur résiduelle : résultat inexpliqué

cirdan

Membre
Bonjour,
Je suis en train de m'arracher les cheveux sur un problème de calcul de loyer, qui doit être simple à résoudre quand on a tous les éléments logiques en main.
Il s'agit d'un calcul de loyer avec de la valeur résiduelle et en terme à échoir.
Dans ce cas, il apparait qu'en utilisant les formules de calcul financier fournies par Excel, on rembourse en principal un montant supérieur à l'investissement moins la VR.
Une démonstration simple du problème est en pièce jointe, au format Excel.
Je la résume ici :
en finançant sur 1 mois, en terme à échoir, 100 000 € avec 20 000 € de VR, un taux annuel de 5%, on obtient une échéance de 80 084,91€
VPM(taux;1;-100000;1;1)=80 084,91€
Je m'attends à un principal de 80 000 €
(Mon investissement, moins la VR)
La réaction immédiate est de se dire que la différence est constituée d'intérêts, mais ça n'est pas le cas, comme le confirment les formules INTPER et PRINCPER.

Si vous avez une explication rationnelle (et il en existe certainement une), je serai ravi de la lire...

Merci d'avance !
 

Pièces jointes

Aristide

Top contributeur
Bonjour,

Vous faites une erreur en B4 en ce sens que, partant d'un taux nominal proportionnel de 5% (en B3) vous commencez par calculer le taux actuariel correspondant - en B3 - et divisez par 12 ledit taux actuariel (toujours en B3) pour en tirer un prétendu taux équivalent mensuel.

C'est un non sens; ce taux équivalent mensuel est tout simplement égal au taux nominal proportionnel de 5%/12 = 0,426349149014%

Ensuite, partant d'un capital de 100.000€ avec une échéance à terme payé d'avance et au bout d'un mois, un solde dû de 20.000€ c'est le taux de 5% qui n'est pas possible.

Avec ces données le taux nominal proportionnel devient 0,00000503724%

Ci-joint fichiers

Cdt
 

Pièces jointes

cirdan

Membre
Bonjour Aristide,
Merci de ce retour et de cette précision sur le taux mensuel. Ceci m'ajoute un champ à explorer :)

Par contre, je ne comprends pas votre remarque sur le taux impossible : comment se fait-il qu'avec ces paramètres, Excel donne un résultat sans signaler d'impossibilité.
D'ailleurs, je ne comprends pas pourquoi il y aurait impossibilité à faire ce calcul ?
On parle bien de "valeur résiduelle" (= valeur future) et non de "solde dû" (mais j'ai peut-être un problème de vocabulaire)
 

Aristide

Top contributeur
C'est normal que Excel ne signale pas d'impossibilité; il vous indique simplement qu'avec les données que vous lui imposez le résultat est de 80 084,91 €

Je suis désolé je ne peux vous en dire plus.

Cdt
 

Aristide

Top contributeur
Bonjour,

J’ai regardé le cas que vous avez proposé de plus près.

Avec le bon taux c'est-à-dire 5%/12 = 0,41667% en « B4 » l’échéance à terme d’avance est bien de 80.082,99€ (Cf Tableau amortissement Fichier_1)

Toujours avec ce même taux rectifié et les données que vous avez imposées, la valeur résiduelle ne peut pas être de 20.000€.
Elle est de 20.083,33€.
Et les 80.33€ correspondent aux intérêts des 20.000€ non remboursés au taux ci-dessus sur un mois.
(Cf fichier « Calcul Val Résid »

Le résultat que vous attendiez serait obtenu avec une échéance à terme échu.
(Cf Fichier « Terme échu » et tableau amortissement)
Cdt
 

Pièces jointes

cirdan

Membre
Bonjour Aristide,

Merci pour cette nouvelle analyse.
Ma question est du coup peut-être mal formulée, est est plus "mathématique" que pratique :

Je formule différemment :

- J'impose une valeur résiduelle à 20 000 € à terme
- Le montant investi est de 100 000 €
Je m'attends donc à ne rembourser en principal que 80 000 € (= 100 000 - 20 000), or, ça n'est pas le cas.
Pour quelle raison je dois rembourser plus de 80 000 € ?

Et ceci est vrai (rembourser plus qu'imaginé) quelle que soit la durée et le taux d'intérêt.
 

Aristide

Top contributeur
Bonjour,

La raison vient du fait que l’échéance est prévue « à terme d’avance ».

Tentons une explication :

Dans votre cas :
+ Prêt de 100.000€
+ Taux 5% (nominal proportionnel)
+ Durée 1 mois
+ Solde résiduel = 20.000€

=> Si l’échéance était prévue à terme échu elle serait de 80.416,67€
=> Les intérêts sur un mois seraient de 100.000€ x 5% / 12 = 416,67€
=> Et donc le capital amorti serait donc de 80.416,67€ - 416,67€ = 80.000€ comme vous l’attendez.

Or nous ne sommes pas en « échéance à terme échu » mais en « échéance payée d’avance ».

Et il est un principe que le taux réel de rentabilité soit identique dans les deux cas de figure ce qui semble logique.

Mais, puisque le créancier perçoit une échéance d’avance (= début de mois au lieu de fin de mois) il est supposé la replacer immédiatement au même taux ce qui, logiquement, augmenterait les intérêts perçus et donc sa rentabilité.

C’est pour respecter ce principe d’égalité de taux de rendement que le montant d’une échéance « d’avance » est moins élevé que la même échéance « à terme échu ».

Dans l’exemple ci-dessus, le montant de l’échéance payée d’avance serait de 80.082,99€

Et l’on peut remarquer que (80.082,99€ x (1 + (5%/12))) = 80.416,67€ = même rentabilité qu’une échéance à terme échu.

L’échéance étant payée d’avance, les intérêts payés sont nuls (zéro jour couru ; donc zéro intérêt) le capital amorti correspond alors à :

=> 80.082,99€ - 0,00€ = 80.082,99€
=> Et le solde résiduel au terme de un mois ne peut pas être de 20.000€ mais seulement de 100.000€ - 80.082,99€ =19.917,01€

J’ai refait ces calculs avec une calculette financière ; les résultats sont strictement identiques à ceux issus de Excel.

Cdt
 

cirdan

Membre
Bonjour Aristide.

Je crois que cette réponse est celle que j'attendais :)

Il faut que j'analyse un peu pour bien comprendre le mécanisme, mais j'ai une bonne piste, merci.
Il est probable que je vous redemande quelques précisions après "mûrissement" de tout ceci.

Sylvain
 
Haut