Calcul Taux/TEG/TAEG en présence d'intérêts intercalaires (= différé/anticipation)

Aristide

Top contributeur
Bonjour,

Pardonnez-moi j'ai, comme trop souvent, été précipité dans ma rédaction.

C'est le montant des intérêts intercalaires qui n'est pas pris en compte dans le calcul du TEG qui, en revanche prend en compte la durée de la brisée.

https://www.cbanque.com/forums/fil/jurisprudence-annee-lombarde.35089/page-184
Ainsi qu’annoncé dans ce post :

Dès que j'en aurais trouvé le temps, j'ouvrirai un nouveau post où non seulement je les traiterai en formules littérales mais également les traduirai parallèlement en deux exemples chiffrés.
Tous pourront voir que les intérêts intercalaires sont bien pris en compte pour leur montant et pour la durée concernée dans le calcul du taux de rendement interne (= taux nominal proportionnel en l'absence de tous frais autres que les intérêts).

https://www.cbanque.com/forums/fil/jurisprudence-annee-lombarde.35089/page-185#post-330255
=> Je reprends les deux cas d’école antérieurement proposés à savoir :

=> Premier cas
+ Prêt de montant "p"
+ Durée totale = 36 mois
+++ Dont durée différé 12 mois (= intérêts intercalaires)
+++ Dont durée amortissement 24 mois

+ Échéances pleines en intérêts (= pas de première échéance en intérêts brisée) pendant le différé = "ei" (donc 12 mensualités "ei" d'intérêts intercalaires).
+ Échéances pleines d'amortissements (= intérêts + capital) = "ea" (donc 24 mensualités "ea")

=> Avec "ea" supérieur à "ei" bien entendu.

=> Second cas
+ Prêt de montant "p"
+ Durée totale = 36 mois et 10 jours
+++ Dont durée différé 12 mois et 10 jours
+++ Dont durée amortissement 24 mois

+ Première échéance en intérêts majorée du différé = "ei1"
+ 11 échéances pleines en intérêts du différé = "ei2"
=> Avec "ei1" supérieur à "ei2" bien entendu

+ Échéances pleines d'amortissements (= intérêts + capital) = "ea" (donc 24 mensualités "ea")

Puisqu'il y a un différé il ne peut pas y avoir un lissage des échéances; seule la technique des amortissements figés est possible.

=> Premier cas :


=> Equation de calcul du taux de rendement interne (TRI) = TEG sans aucun frais autres que les intérêts, développée sous sa forme littérale :

=> Avec

+ ei1 à ei12 = montant échéances pleines en intérêts intercalaires seuls pendant la phase de différé/anticipation

+ ea13 à ea36 = montant des échéances pleines d’amortissement en capital + intérêts

+ im = Taux périodique mensuel

+ Taux nominal proportionnel recherché = im x 12

=> P =
(ei1 x ((1+im)^(-1))) + ((ei2 x ((1+im)^(-2))) +……….. (ei12 x ((1+im)^(-12))) + (ea13 x ((1+im)^(-13))) +………+ (ea36 x ((1+im)^(-36)))

=> Déjà à ce stade l’on perçoit bien que les intérêts intercalaires «
ei » sont bien intégrés dans les calculs.

=> Second cas :


=> Équation de calcul du taux de rendement interne (TRI) = TEG sans aucun frais autres que les intérêts, développée sous sa forme littérale :

=> Avec

+ ei1
première échéance majorée de 10 jours d’intérêts intercalaires.

+ ei2 à ei12 = montant échéances pleines en intérêts intercalaires seuls pendant la phase de différé/anticipation

+ ea13 à ea36 = montant des échéances pleines d’amortissement en capital + intérêts

+ im = Taux périodique mensuel

+ Taux nominal proportionnel recherché = im x 12

=> Le calcul se fait en deux temps.

+
Un premier calcul de la valeur actuelle provisoire « vap » à l’échéance zéro fictive c’est-à-dire une période avant la première échéance, par actualisation de toutes les échéances (
y compris celles d’intérêts intercalaires seuls)bau taux « im » recherché.

+ Un second calcul qui actualise, au taux « im » recherché, cette valeur actuelle provisoire « vap » à l’échéance zéro réelle.

=> vap = (ei1 x ((1+im)^(-1))) + ((ei2 x ((1+im)^(-2))) +……….. (ei12 x ((1+im)^(-12))) + (ea13 x ((1+im)^(-13))) +………..+ (ea36 x ((1+im)^(-36)))

=> P = vap x ((1+im)^(-10/(365/12)))

=> Là encore l’on perçoit bien que les intérêts intercalaires « ei » sont bien intégrés dans les calculs.


Pour matérialiser ces équations littérales j’ai supposé un prêt de 10.000€ au taux de 1,80% avec les caractéristiques de durées – de différé et totale – ci-dessus.

Ces équations deviennent :

=> Premier cas

=> 10.000€ =
(15€ x ((1+im)^(-1))) + ((15e x ((1+im)^(-2))) +……….. (15€ x ((1+im)^(-12))) + (424,52€ x ((1+im)^(-13))) +………+ (424,52€ x ((1+im)^(-36)))

=
> Taux périodique mensuel = 0,15%

=> Taux de rendement interne = taux nominal proportionnel
= 1,80% => OK

=> Second cas

=> 10.004,92€ =
(19,93€ x ((1+im)^(-1))) + ((15€ x ((1+im)^(-2))) +……….. (15€ x ((1+im)^(-12))) + (424,52€ x ((1+im)^(-13))) +………..+ (424,52€ x ((1+im)^(-36)))

=> 10.000€ = 10.004,92€ x ((1+im)^(-10/(365/12)))

=> Taux périodique mensuel = 0,15%

=> Taux de rendement interne = taux nominal proportionnel
= 1,80% => OK

Vous retrouverez le détail de tous ces calculs via les deux tableaux d’amortissements compris dans le fichier Excel joint.

En anticipation de possibles critiques farfelues, je précise que, ayant pour objectif une démonstration sur des principes de calculs, aucun arrondi n’a été fait dans lesdits tableaux d’amortissement.

Conclusion :

Les intérêts intercalaires
sont bien pris en compte pour leurs montants réels et pour les durées réelles concernées.

Et ceci est autant vrai pour le calcul du taux de rendement interne ( TRI = TEG sans aucun frais autres que les intérêts = taux nominal proportionnel) que pour leTEG/TAEG.

Cdt
 

Pièces jointes

Dernière modification:

Casaminor

Contributeur
Bonjour,



Ainsi qu’annoncé dans ce post :


=> Je reprends les deux cas d’école antérieurement proposés à savoir :

=> Premier cas
+ Prêt de montant "p"
+ Durée totale = 36 mois
+++ Dont durée différé 12 mois (= intérêts intercalaires)
+++ Dont durée amortissement 24 mois

+ Échéances pleines en intérêts (= pas de première échéance en intérêts brisée) pendant le différé = "ei" (donc 12 mensualités "ei" d'intérêts intercalaires).
+ Échéances pleines d'amortissements (= intérêts + capital) = "ea" (donc 24 mensualités "ea")

=> Avec "ea" supérieur à "ei" bien entendu.

=> Second cas
+ Prêt de montant "p"
+ Durée totale = 36 mois et 10 jours
+++ Dont durée différé 12 mois et 10 jours
+++ Dont durée amortissement 24 mois

+ Première échéance en intérêts majorée du différé = "ei1"
+ 11 échéances pleines en intérêts du différé = "ei2"
=> Avec "ei1" supérieur à "ei2" bien entendu

+ Échéances pleines d'amortissements (= intérêts + capital) = "ea" (donc 24 mensualités "ea")

Puisqu'il y a un différé il ne peut pas y avoir un lissage des échéances; seule la technique des amortissements figés est possible.

=> Premier cas :


=> Equation de calcul du taux de rendement interne (TRI) = TEG sans aucun frais autres que les intérêts, développée sous sa forme littérale :

=> Avec

+ ei1 à ei12 = montant échéances pleines en intérêts intercalaires seuls pendant la phase de différé/anticipation

+ ea13 à ea36 = montant des échéances pleines d’amortissement en capital + intérêts

+ im = Taux périodique mensuel

+ Taux nominal proportionnel recherché = im x 12

=> P =
(ei1 x ((1+im)^(-1))) + ((ei2 x ((1+im)^(-2))) +……….. (ei12 x ((1+im)^(-12))) + (ea13 x ((1+im)^(-13))) +………+ (ea36 x ((1+im)^(-36)))

=> Déjà à ce stade l’on perçoit bien que les intérêts intercalaires «
ei » sont bien intégrés dans les calculs.

=> Second cas :


=> Équation de calcul du taux de rendement interne (TRI) = TEG sans aucun frais autres que les intérêts, développée sous sa forme littérale :

=> Avec

+ ei1
première échéance majorée de 10 jours d’intérêts intercalaires.

+ ei2 à ei12 = montant échéances pleines en intérêts intercalaires seuls pendant la phase de différé/anticipation

+ ea13 à ea36 = montant des échéances pleines d’amortissement en capital + intérêts

+ im = Taux périodique mensuel

+ Taux nominal proportionnel recherché = im x 12

=> Le calcul se fait en deux temps.

+
Un premier calcul de la valeur actuelle provisoire « vap » à l’échéance zéro fictive c’est-à-dire une période avant la première échéance, par actualisation de toutes les échéances (
y compris celles d’intérêts intercalaires seuls)bau taux « im » recherché.

+ Un second calcul qui actualise, au taux « im » recherché, cette valeur actuelle provisoire « vap » à l’échéance zéro réelle.

=> vap = (ei1 x ((1+im)^(-1))) + ((ei2 x ((1+im)^(-2))) +……….. (ei12 x ((1+im)^(-12))) + (ea13 x ((1+im)^(-13))) +………..+ (ea36 x ((1+im)^(-36)))

=> P = vap x ((1+im)^(-10/(365/12)))

=> Là encore l’on perçoit bien que les intérêts intercalaires « ei » sont bien intégrés dans les calculs.


Pour matérialiser ces équations littérales j’ai supposé un prêt de 10.000€ au taux de 1,80% avec les caractéristiques de durées – de différé et totale – ci-dessus.

Ces équations deviennent :

=> Premier cas

=> 10.000€ =
(15€ x ((1+im)^(-1))) + ((15e x ((1+im)^(-2))) +……….. (15€ x ((1+im)^(-12))) + (424,52€ x ((1+im)^(-13))) +………+ (424,52€ x ((1+im)^(-36)))

=
> Taux périodique mensuel = 0,15%

=> Taux de rendement interne = taux nominal proportionnel
= 1,80% => OK

=> Second cas

=> 10.004,92€ =
(19,93€ x ((1+im)^(-1))) + ((15€ x ((1+im)^(-2))) +……….. (15€ x ((1+im)^(-12))) + (424,52€ x ((1+im)^(-13))) +………..+ (424,52€ x ((1+im)^(-36)))

=> 10.000€ = 10.004,92€ x ((1+im)^(-10/(365/12)))

=> Taux périodique mensuel = 0,15%

=> Taux de rendement interne = taux nominal proportionnel
= 1,80% => OK

Vous retrouverez le détail de tous ces calculs via les deux tableaux d’amortissements compris dans le fichier Excel joint.

En anticipation de possibles critiques farfelues, je précise que, ayant pour objectif une démonstration sur des principes de calculs, aucun arrondi n’a été fait dans lesdits tableaux d’amortissement.

Conclusion :

Les intérêts intercalaires
sont bien pris en compte pour leurs montants réels et pour les durées réelles concernées.

Et ceci est autant vrai pour le calcul du taux de rendement interne ( TRI = TEG sans aucun frais autres que les intérêts = taux nominal proportionnel) que pour leTEG/TAEG.

Cdt
Merci pour cette démonstration ; avec la formule de l’exemple 5bis, c’est donc bien tous les flux en provenance de l’emprunteur, comprenant les intérêts intercalaires, qui sont actualisés pour être comparés au capital prêté.

C'est bien ce qui apparaît quand on applique à la lettre la formule 5 bis : si on l'applique à la recherche du TAEG du second cas (on suppose qu’il n’y a ni frais ni assurance et qu’on se place après le 1er août 2016), on va poser l'équation :

=10000 – [19,93*(1+TAEG)^(-1/12) + (15*(1-(1+TAEG)^-(11/12))/(((1+TAEG)^(1/12))-1))*(1+TAEG)^(-1/12) + ((424,52*(1-(1+TAEG)^-(24/12))/(((1+TAEG)^(1/12))-1))*(1+TAEG)^(-12/12))] / (1+TAEG)^(10/365)

on obtient un résultat nul avec TAEG = 1,81442354 %

On a quasiment le même résultat avec TRI (1,81441177 %) en comparant -10004,93 et la suite des mensualités : 19,93 puis 11 x 15 et 24 x 424,52
 

Aristide

Top contributeur
Bonjour,

Merci pour cette démonstration ; avec la formule de l’exemple 5bis, c’est donc bien tous les flux en provenance de l’emprunteur, comprenant les intérêts intercalaires, qui sont actualisés pour être comparés au capital prêté.
Bien entendu; ne pas prendre en compte les intérêts intercalaires dans les calculs serait complètement illogique et anormal tant sur le plan mathématique que sur le plan juridique; il font bien partie des charges obligatoires.

C'est bien ce qui apparaît quand on applique à la lettre la formule 5 bis : si on l'applique à la recherche du TAEG du second cas (on suppose qu’il n’y a ni frais ni assurance et qu’on se place après le 1er août 2016), on va poser l'équation :

=10000 – [19,93*(1+TAEG)^(-1/12) + (15*(1-(1+TAEG)^-(11/12))/(((1+TAEG)^(1/12))-1))*(1+TAEG)^(-1/12) + ((424,52*(1-(1+TAEG)^-(24/12))/(((1+TAEG)^(1/12))-1))*(1+TAEG)^(-12/12))] / (1+TAEG)^(10/365)

on obtient un résultat nul avec TAEG = 1,81442354 %

On a quasiment le même résultat avec TRI (1,81441177 %) en comparant -10004,93 et la suite des mensualités : 19,93 puis 11 x 15 et 24 x 424,52
Avec l'équation de conversion du TAEG actuariel en TEG proportionnel
+ (1+Ia) = (1+Im)^(12)
+ im = ((1+Ia)^(1/12)-1
+ TEG = im x 12

Soit:
+ (1,0181442354...) = (1+Im)^(12)
+ im = ((1,0181442354...)^(1/12)-1 = 0,00149958936...
+ TEG = 0,00149958936... x 12 = 0,01799507232...
=> TEG = + TEG = 0,01799507232... x 100 = 1,7995...% = 1,80%

Cdt
 

Aristide

Top contributeur
Edit:

Notez cependant que, dans l'absolu, cette conversion n'est pas tout à fait exacte.

En effet elle considère que la périodicité est mensuelle ce qui n'est pas exactement le cas pour la première échéance où elle est de "1 mois + (10/(365/12)) de mois".

Cdt
 

Casaminor

Contributeur
Edit:

Notez cependant que, dans l'absolu, cette conversion n'est pas tout à fait exacte.

En effet elle considère que la périodicité est mensuelle ce qui n'est pas exactement le cas pour la première échéance où elle est de "1 mois + (10/(365/12)) de mois".

Cdt
La conversion reste correcte compte tenu de l’alinéa 3 de l’article R 314-2 (« Lorsque la périodicité des versements est irrégulière, la période unitaire est celle qui correspond au plus petit intervalle séparant deux versements. Le plus petit intervalle de calcul ne peut cependant être inférieur à un mois. »)
 

Aristide

Top contributeur
Bonjour,

Au plan juridique vous auriez pu avoir raison………...mais dans une autre circonstance.:)

Reprenons l’article R 314-2 du code de la consommation que vous citez ci-dessus :

Article R314-2
Créé par Décret n°2016-884 du 29 juin 2016 - art.
………….

Le taux de période est calculé actuariellement, à partir d'une période unitaire correspondant à la périodicité des versements effectués par l'emprunteur. Il assure, selon la méthode des intérêts composés, l'égalité entre, d'une part, les sommes prêtées et, d'autre part, tous les versements dus par l'emprunteur au titre de ce prêt, en capital, intérêts et frais divers, ces éléments étant, le cas échéant, estimés.

Lorsque la périodicité des versements est irrégulière, la période unitaire est celle qui correspond au plus peti

Le plus petit intervalle de calcul ne peut cependant être inférieur à un mois.

Lorsque les versements sont effectués avec une fréquence autre qu'annuelle, le taux effectif global est obtenu en multipliant le taux de période par le rapport entre la durée de l'année civile et celle de la période unitaire.

Le rapport est calculé, le cas échéant, avec une précision d'au moins une décimale.
……...
https://www.legifrance.gouv.fr/affichCodeArticle.do?cidTexte=LEGITEXT000006069565&idArticle=LEGIARTI000032807606&dateTexte=&categorieLien=cid
Le code de la consommation fait donc état de "sommes prêtées" quant il s'agit de mises à disposition de fonds par le prêteur (= flux d'entrées de trésorerie) et de "versements" quand il s'agit de paiements effectués par l'emprunteur (= flux de sorties de trésorerie).

Or dans le cas qui nous occupe, le premier intervalle qui génère l'échéance brisée (= majorée en l'occurrence) n'est pas un
"intervalle séparant deux versements" mais un intervalle séparant "d'une part, les sommes prêtées" et d'autre part "le premier versement".

Dans notre exemple, la période brisée ne concernant donc pas "un intervalle entre deux versements" l'indication:

Le plus petit intervalle de calcul ne peut cependant être inférieur à un mois.
=>n'est pas applicable.

Mais, d'autre part, au plan mathématique, utiliser une autre durée que celle réelle représentant la durée exacte sur la quelle les intérêts sont calculés et payés ne peut pas aboutir à un calcul exact du taux que l'on recherche, quel qu'il soit.

D'ailleurs ce n'est pas pour rien que les différents textes successifs concernant le TEG et ou le TAEG prévoient un calcul additionnel; dans notre exemple:

=>Somme prêtée = Valeur actuelle provisoire "vap" x ((1+im)^(-10/(365/12)))

Sans ce calcul additionel la durée réelle serait tronquée et, en conséquence, le taux calculé serait inexact.

Cdt
 

Casaminor

Contributeur
Bonjour,

Au plan juridique vous auriez pu avoir raison………...mais dans une autre circonstance.:)

Reprenons l’article R 314-2 du code de la consommation que vous citez ci-dessus :



Le code de la consommation fait donc état de "sommes prêtées" quant il s'agit de mises à disposition de fonds par le prêteur (= flux d'entrées de trésorerie) et de "versements" quand il s'agit de paiements effectués par l'emprunteur (= flux de sorties de trésorerie).

Or dans le cas qui nous occupe, le premier intervalle qui génère l'échéance brisée (= majorée en l'occurrence) n'est pas un
"intervalle séparant deux versements" mais un intervalle séparant "d'une part, les sommes prêtées" et d'autre part "le premier versement".

Dans notre exemple, la période brisée ne concernant donc pas "un intervalle entre deux versements" l'indication:




=>n'est pas applicable.

Mais, d'autre part, au plan mathématique, utiliser une autre durée que celle réelle représentant la durée exacte sur la quelle les intérêts sont calculés et payés ne peut pas aboutir à un calcul exact du taux que l'on recherche, quel qu'il soit.

D'ailleurs ce n'est pas pour rien que les différents textes successifs concernant le TEG et ou le TAEG prévoient un calcul additionnel; dans notre exemple:

=>Somme prêtée = Valeur actuelle provisoire "vap" x ((1+im)^(-10/(365/12)))

Sans ce calcul additionel la durée réelle serait tronquée et, en conséquence, le taux calculé serait inexact.

Cdt
OK, le troisième alinéa n'a pas à jouer puisque la périodicité des versements (qui s'entend donc des seuls règlements de l'emprunteur) est parfaitement régulière ; mais dans ces conditions, et sur le plan juridique, la multiplication du taux de période par 12 me semble exempte de tout reproche
 

Aristide

Top contributeur
Si le taux de période est bien calculé en tenant compte de la période additionnelle, vous avez raison, au plan juridique le multiplier par 12 (si mensualités) donne un taux correct.

C'est l'exemple N°2 de la circulaire AFP faisant suite au décret 85-944 du 4/09/1985.

Cdt
 

Aristide

Top contributeur
Je reviens sur cet échange car je ne voudrais pas qu'il y ait d’ambiguïtés.

Explications:

Si l'on calcule le taux périodique "im" en tenant compte de la période additionnelle je suis toujours d'accord avec vous pour dire que "im" X 12 = taux proportionnel correct.
=> Dans l'exemple 0,15% x 12 = 1,80% = OK

Mais d'abord calculer un TAEG actuariel - toujours avec la période additionnelle - et, ensuite, extraire un taux périodique en y appliquant l'exposant "1/12" comme je l'ai fait ci-dessus me semble incorrect.

Pour ne pas trop me compliquer la vie, dans mon ancien fichier ci-dessus j'ai calculé le TAEG actuariel avec la fonction TRI Paiements de Excel en base 365 jours (cf fichier joint - Je sais que ce calcul n'est plus conforme depuis le décret N° 2016-607 du 13 mai 2016).

Ce TAEG actuariel ressort à 1,813583%.
Si j'applique l'équation de conversion
=> (1,01813583...) = (1+Im)^(12)
=> im =0,001498900...
=> Taux = 0,00149890... x 12 = 0,01187547....= 1,7986....% ce qui fait toujours 1,80% après arrondis

Mais il faudrait refaire ce calcul avec la bonne méthode actuelle et sur une durée additionnelle plus longue pour bien marqre la différence, car, dans le principe, le procédé semble conduire à un résultat inexact.

Cdt
 

Pièces jointes

Casaminor

Contributeur
Pour ma part, je n'utilise pas cette fonction TRI.PAIEMENTS (qui, comme vous signalez, ignore les années bissextiles) ; je pense qu'elle n'a pas sa place dans un calcul de vérification à des fins contentieuses, car elle n'est pas réglementaire : elle fait intervenir un taux quotidien et dégage un TAEG actuariel sur cette base : TAEG = [(1+tq)^365] - 1 ; il n'y a rien de tel dans l'annexe au décret 2002-928, sauf dans le cas très particulier des crédits renouvelables.

En cas de contentieux sur l'exactitude du taux débiteur ou du TEG des prêts classiques, faisant l'objet d'un tableau d'amortissement, je retiendrais votre formule :

10.004,92€ = (19,93€ x ((1+im)^(-1))) + ((15€ x ((1+im)^(-2))) +……….. (15€ x ((1+im)^(-12))) + (424,52€ x ((1+im)^(-13))) +………..+ (424,52€ x ((1+im)^(-36)))
puis im x 1200 = taux débiteur ou TEG

et en cas de contentieux sur le TAEG, celle que j'ai proposée précédemment, que résout aisément la fonction valeur cible :
=10000 – [19,93*(1+TAEG)^(-1/12) + (15*(1-(1+TAEG)^-(11/12))/(((1+TAEG)^(1/12))-1))*(1+TAEG)^(-1/12) + ((424,52*(1-(1+TAEG)^-(24/12))/(((1+TAEG)^(1/12))-1))*(1+TAEG)^(-12/12))] / (1+TAEG)^(10/365)
 
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